Rezgő doboz

I.)                  Elméleti bevezető

 

1)      Rezgő lemezen rugalmasan pattogó golyó dinamikájának matematikai modellje

Hogy bepillantást nyerjünk egy gyorsan rezgő szemcsés sokaság problémájába, meg kell vizsgálnunk 

egyetlen részecske pattogását vízszintes lemezen, amely A amplitúdóval és  körfrekvenciával rezeg . Világos, hogy nagy különbség van a két probléma között, mégis a rezgő sokaság (oscillon) egyetlen részecskéjének mozgása mely a jelenség lényeges része, jól leírható egy különálló pattogó golyóval. 

A  matematikai modell a

 tökéletesen rugalmas golyó pattogására  

egy 4,6 körüli relatív gyorsulás amplitúdót

 

jósol , míg a

 

részben rugalmas ütközéseknél ez az érték 2,5 körül várható.

  

2)      Kaotikus dinamika

  Tekintsünk egy időben szinuszosan fel-le mozgó vízszintes lapon – például rezgő hangszórólemezen – függőlegesen pattogó, kisméretű golyót. A lemez rezgése periodikus, a lemezzel való ütközés azonban nem feltétlenül az. A kaotikus viselkedést az okozza, hogy a golyó repülési ideje általában nem azonos a lemez rezgésidejével, így az ütközések mindig különböző fázisokban következnek be. Érdemes a golyó állapotát az ütközések pillanatában, közvetlenül a visszapattanás után meghatározni. Az ütközési sebességveszteség általában nem hanyagolható el, ezért feltesszük, hogy a golyó lemezhez viszonyított sebességének nagysága a visszapattanás után a becsapódási érték k-szorosa (k<1). Mivel az ütközések közötti mozgás függőleges hajítás, a mechanika törvényei alapján egyértelműen meghatározható a következő ütközés pillanata, valamint az ütközési veszteség ismeretében az ütközés utáni visszapattanási sebesség is. Ha a közegellenállást elhanyagoljuk, akkor ehhez középiskolai ismeretek is elegendőek. A mozgást a visszapattanási sebességek és az ütközési időpontok sorozatának megadásával követjük nyomon. Jellegzetes vonásai az 1. ábráról olvashatóak le.

1. ábra. a) Az f frekvenciával rezgő lemezen pattogó golyó tn ütközési időpillanata és vn visszapattanási sebessége az ütközések n számának függvényében (t0 = 0, v0 = 1 m/s). A mozgás szabálytalan, benne semmilyen ismétlődés sem ismerhető fel. b) Két közel  azonos kezdősebességgel indított golyó (t0 = 0, v0 = 1 m/s, ill. v0 = 1+10–15 m/s, szaggatott vonal) visszapattanási sebességeinek sorozata. c) A sebességkülönbségek logaritmusa lineárisan változik időben, a l= 4 hertz meredekséggel. A sebességkülönbség exponenciálisan no az exp(tn) ütemben. A l kitevő a Ljapunov-exponens, a káosz egyik fontos mérőszáma. A b), c) képekről a  kezdőfeltételre vonatkozó nagyfokú  érzékenység következik.  d) Az idő helyett célszerű az ütközési pillanatok jn=2pftn fázisát is követni, ami – mivel szög –  mindig "visszatolandó" a (0, 2p) intervallumba. A jn,vn koordinátákkal megadott "pattogási térképen" (ami az ún. fázistérbeli ábrázolás egy esete) az a) ábra pontsorozata 1millió pattanás után egy bonyolult, de strukturált fraktálszerkezettel rendelkező alakzatot rajzol ki, az ún. kaotikus attraktort.

Példánkban f = 20 Hz, a lemez maximális sebessége V = 1,2 m/s, az ütközési együttható k=0,5. A mozgás egyszerű modelljét használtuk, mely szerint a lemez kitérése elhanyagolható a golyó emelkedéséhez képest, s ezért tn+1=tn+(2/g)vn. Mivel a relatív sebesség a visszapattanáskor a (–k)-szorosára változik, az új fázis sebessége

jn+1= jn+ 4pf/g)vnvn+1 =  k vn+ (1+k)Vcos4jn+1

(g a gravitációs gyorsulás). Ez egy kétváltozós leképezés (differenciaegyenlet). A kaotikus viselkedés csak nemlineáris rendszerekben fordul elő, esetünkben a nemlinearitás forrása a lemez koszinusz- (azaz a lineáristól eltérő) függvénnyel jellemzett sebessége.

II.)              A mérés kivitelezése

 

1)      Frekvenciamérés stroboszkóppal:

 A rezgő körlap frekvenciájának meghatározásához stroboszkópot használtunk. A stroboszkóp villogási frekvenciáját addig változtattuk, amíg a körlap állónak nem látszott. A mérést nehezítette, hogy a lap alátámasztásának következtében enyhén billegett. Négy esetben mértünk frekvenciát és ezek átlagát vettük.

Frekvencia mérése

  

2)      A golyók eloszlásának vizsgálata:

 a)      Technikai megoldások

 A rázógép hangszórójára erősített körlapot használtuk rezgő lemezként. Ezt a körlapot felosztottuk négy rekeszre, így négy negyedrészt kaptunk. A körlapra három különböző méretű falat készítettünk: 2,5 cm, 3,5 cm, 5 cm magasságúakat. Minden egyes mérés kiindulási helyzete az volt, hogy két-két acélgolyót raktunk mindegyik rekeszbe. A 2,5 cm-es falnál az amplitúdót úgy állítottuk be, hogy először megnéztük, hogy milyen minimális amplitúdónál ugrálnak át a golyók. Majd a minimum és a maximum között felosztottuk az amplitúdó értékeket. Ezt a rázógép hangerő-szabályozójának különböző helyzetekbe való állításával tudtuk megoldani.

  

A rázógép

Elokészítés és mérés

Üres rekeszek

Alaphelyzet

Működik a rázógép: pattognak a golyók

Figyelem: 3…2…1…

Mennyi is volt?

Úgy néz ki végeztünk…

Vagy mégsem?!

   Nehézségek:

A 2,5 cm-es falnál a minimum és maximum amplitúdón kívül csak egy értéknél tudtunk mérni. A 3,5 cm-es választónál csak a minimum és maximum értéknél mérhettünk, mert olyan közel estek egymáshoz. Az 5 cm-es falnál pedig már csak a maximális amplitúdónál pattogtak át a golyók.

Mivel a lemez csak egy ponton volt rögzítve a hangszóróhoz, így a golyók pattogása során erősen billegett és ez nagyon megnehezítette a munkánkat és befolyásolta a mérési eredményeket.

  b)      A mérési adatok kiértékelése

 A golyók eloszlásának adatait táblázatokban rögzítettük és a különböző amplitúdókhoz tartozó golyóátlagokból oszlopdiagramokat készítettünk.

 

Fal

2.5 cm

 

 

 

Fal

2.5 cm

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Amplitúdó

min

 

 

 

Amplitúdó

középső

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

Kiindulás

2

2

2

2

Kiindulás

2

2

2

2

1. mérés

5

2

0

1

1. mérés

3

1

1

3

2. mérés

1

0

3

4

2. mérés

2

3

2

1

3. mérés

0

3

5

0

3. mérés

3

3

2

0

4. mérés

4

1

1

2

4. mérés

2

1

1

4

5. mérés

3

1

3

1

5. mérés

3

3

2

0

6. mérés

2

3

3

0

6. mérés

2

0

0

6

7. mérés

2

2

3

1

7. mérés

2

2

4

0

8. mérés

0

4

2

2

8. mérés

0

3

4

1

9. mérés

3

1

1

3

9. mérés

0

2

5

1

10. mérés

0

3

4

1

10. mérés

0

3

5

0

Átlag

2

2

2,5

1,5

Átlag

1,7

2,1

2,6

1,6

 

Fal

2.5 cm

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Amplitúdó

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

Kiindulás

2

2

2

2

1. mérés

1

2

4

1

2. mérés

2

3

3

0

3. mérés

0

2

6

0

4. mérés

4

0

2

2

5. mérés

4

2

0

2

6. mérés

0

6

1

1

7. mérés

1

5

2

0

8. mérés

2

0

4

2

9. mérés

1

3

3

1

10. mérés

1

1

0

6

Átlag

1,6

2,4

2,5

1,5


 

Fal

3.5 cm

 

 

 

Fal

3.5 cm

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Amplitúdó

Középső

 

 

 

Amplitúdó

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

Kiindulás

2

2

2

2

Kiindulás

2

2

2

2

1. mérés

3

2

1

2

1. mérés

3

1

1

3

2. mérés

4

2

0

2

2. mérés

3

0

0

5

3. mérés

2

2

1

3

3. mérés

4

0

1

3

4. mérés

3

2

1

2

4. mérés

2

2

1

3

5. mérés

2

1

1

4

5. mérés

1

1

1

5

6. mérés

3

1

1

3

6. mérés

2

1

1

4

7. mérés

2

0

2

4

7. mérés

2

1

1

4

8. mérés

0

2

3

3

8. mérés

3

2

3

0

9. mérés

2

3

0

3

9. mérés

0

3

2

3

10. mérés

1

4

3

0

10. mérés

1

3

3

1

Átlag

2,2

1,9

1,3

2,6

Átlag

2,1

1,4

1,4

3,1

 

 

Fal

5 cm

 

 

 

Ido

20 s

 

 

 

Amplitudó

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I rekesz

II rekesz

III rekesz

IV rekesz

Kiindulás

2

2

2

2

1. mérés

2

2

2

2

2. mérés

2

2

1

3

3. mérés

4

3

1

0

4. mérés

2

3

2

1

5. mérés

2

2

1

3

6. mérés

1

3

2

2

7. mérés

1

3

2

2

8. mérés

1

5

1

1

9. mérés

3

2

2

1

10. mérés

2

2

2

2

11. mérés

1

2

4

1

12. mérés

2

2

2

2

13. mérés

2

0

1

5

14. mérés

2

3

2

1

15. mérés

2

4

1

1

16. mérés

6

2

0

0

17. mérés

3

1

2

2

18. mérés

2

1

2

3

19. mérés

3

3

2

0

20. mérés

0

3

3

2

Átlag

2,15

2,4

1,75

1,7

III.)    Felhasznált irodalom

 Dr. Juhász András: Fizikai kísérletek gyűjteménye III

Tél Tamás & Gruiz Márton: Kaotikus dinamika

James M. Hill, Michael J. Jennings, Dong Vu To, Kiren A. Williams: Oscillon

  

IV.)           Köszönetnyilvánítás

Köszönetünket fejezzük ki iskolánk, a bajai Szent László ÁMK vezetésének, amiért biztosították számunkra a korszerű eszközöket dolgozatunk elkészítéséhez. Köszönjük fizika tanárunknak, Jaloveczki Józsefnek a sok hasznos elméleti és gyakorlati tanácsot.

  

© Készítette:  

Kriskó László 11.B – Umenhoffer Ferenc 11.B

2003. 03. 15.