A Káosz természetrajza

 

Az utóbbi évtizedben a káoszjelenség egyre gyakrabban fordul elő társalgási témaként is. Spielberg filmjének, a "Jurassic Park"-nak egyik főszereplője káoszkutató. Tom Stoppard "Árkádia" című, 1993-ban írt darabjában (a Katona József Színház nemrég mutatta be és jelenleg is játssza) egy fontos szál épül a káosztudomány és matematikája köré, elismerésre méltóan szakszerű ismeretekre alapozva, közérthetően, a szakkifejezéseket mellőzve. A Fokasz Nikosz által szerkesztett "Rend és Káosz" című kötet (Replika Könyvek, Bp.) az idén jelent meg, főleg társadalmi vonatkozásokról. James Gleick, "Káosz: egy új tudomány születése" című, tíz éve írt sikerkönyvének (ami a káosztudomány kialakulását mutatja be, a jelentős kutatókkal készült riportok alapján is) magyar kiadása az év végére várható.

A káosz szó használata önmagában félreértésekre adhat okot, hiszen mint látni fogjuk, hétköznapi és tudományos értelme nem egészen azonos. A görög szó eredeti jelentése "üresség, semmi". Csak Arisztotelész munkássága nyomán veszi fel az "összevisszaság" jelentést. Érdekes megjegyezni még, hogy a Biblia magyar (és sok más nyelvű) fordításában a "tohuvabohu" (héberül: zűrzavar) az üresség értelemben jelenik meg (Genesis 1.2).

A káosznak a 80-as évek óta elterjedt tudományos fogalma kapcsán először is azt kell leszögeznünk, hogy az nem egy pillanatnyi helyzetre, elrendezésre, állapotra vonatkozik, hanem az időbeli viselkedésre. Mivel bármilyen mennyiség időfejlődése általános értelemben mozgásnak tekinthető, a káosz ebben a modern szóhasználatban a mozgás, a dinamika jellegére utal. Érdemes azt is hangsúlyozni, hogy a káosz elsősorban a velünk azonos léptékű (makroszkopikus) világ sajátos mozgásformája.

A káosz kapcsán gyakran hallani az ún. pillangó-effektusról. Az elnevezés utalás arra, hogy egy brazíliai pillangó szárnycsapása is befolyásolhatja, vajon kialakul-e orkán New Yorkban. Ez a kaotikus viselkedés egy létező, fontos tulajdonságnak sarkított, újságírói túlzás szintű tálalása, amiről a későbbiekben látni fogjuk, hogy milyen feltételek mellett lehetne igaz. Az ilyen jellegű megfogalmazások nem ritkán misztikus, ezredvégi hangulatot sugalló, vagy a tudomány szerepét megkérdőjelező értelmezésre vezetnek.

E cikk célja, hogy rövid összefoglalását adja a káosz mint jelenség természetszemléletünket átformáló általános vonásainak, lehetőleg hétköznapi példákat használva, s a technikai részleteket mellőzve. Külön hangsúlyt helyezünk néhány olyan pont tisztázására, melyek a fent említetthez hasonló félreértések elkerülését segítik.

A modern értelemben kaotikusnak nevezett viselkedés lényegét három különböző oldalról lehet összefoglalni, a kaotikus mozgás három fő tulajdonságának megfelelően.

I. A szabálytalan mozgás

A káosz a körülöttünk lévő rendszerek időbeli viselkedésének általános formája, melyre első ránézésre az is jellemző, hogy nem szabályos. A káosz önmagát nem ismétlő állandósult mozgás. Önmagát nem ismétlő mozgáson azt értjük, hogy a mozgás időben nem periodikus, még közelítőleg sem. Ez egyben az egyetlen tulajdonság, ahol az arisztotelészi összevisszaság jelentés valamelyest megjelenik. Az állandósultság pedig hosszú ideig tartó, nem csillapodó mozgásra utal, ami valamilyen energia befektetés hatására alakul ki.

Az ilyen szabálytalan, kiszámíthatatlan dinamika számos hétköznapi jelenségben megfigyelhető, gondoljunk például hulló falevelek libegő esésére. Bármennyi ideig követjük is az ilyen mozgást, nem tudjuk megbecsülni sem, hogy miként folytatódik. Ez éles ellentétben áll az életünk ritmusát megadó (s az élet kialakulásához oly fontos) szigorú szabályossággal, a periodikus dinamikával, mely a Föld Nap körüli, vagy a Hold Föld körüli mozgására jellemző. A legkülső bolygók, pl. a Plútó mozgása viszont már kaotikus. Így van ez a kisbolygókkal is, melyek meteoritokként kiszámíthatatlan időközönként érkeznek a Föld légkörébe, s elégésük vezet a hullócsillag jelenséghez.

Az utóbbi húsz évben elterjedt szóhasználat szerint a káosz a kevés összetevőből álló rendszerek összetett mozgása. A káosz tudományos forradalmának alapja az a felismerés, hogy egyszerű törvények is vezethetnek igen bonyolult viselkedésre. Lehet persze bonyolult egy sokrészecske-rendszer mozgása is, de az, hogy ilyen összetett rendszer mozgása bonyolult, nem meglepő. Ez utóbbi kifejezésére ezért a molekuláris káosz szóhasználat terjedt el, ami gyakran szinonimája a zajnak. A legegyszerűbb példa a zajra egy pollenszem mikroszkóp alatt jól megfigyelhető összevissza bolyongása (a Brown-mozgás), ami számtalan folyadékrészecske lökdösésének a következménye. Az általunk használt káosz fogalmat pedig a determinisztikus jelző illeti meg, ugyanis a körülmények és törvények által egyértelműen meghatározott. Ezzel arra is utalunk, hogy külső zaj a jelenségben nem játszik szerepet, a bonyolult viselkedés a dinamika belső sajátossága.

A káosz végső soron azon a matematikai tulajdonságon alapszik, hogy egyszerű egyenleteknek is lehet igen bonyolult megoldása. Bár a káosz természettudományos következményei alapvetően újak és fontosak, nem sajátíthatja ki emiatt egyetlen tudomány sem. A káosz minden természettudomány, sőt minden olyan tudomány sajátja, melyben a matematikai leírás hasznosnak bizonyul (például közgazdaságtan). Lehet viszont beszélni a káosztudományról, mely új interdiszciplináris terület, s a kaotikus jelenségek általános vonásait kutatja. Sokszor használatos a „káoszelmélet” elnevezés is, de ez kizárja a káosz kísérleti vizsgálatát, ami pedig alapvető fontosságú. Nem nevezhető a káosz a fizika harmadik forradalmának sem -bár néhol szokás -, már csak azért sem, mert új törvények felfedezése nem kapcsolódik hozzá (mint pl. a relativitás elmélete az univerzum, vagy a kvantummechanikáé a mikrorészecskék világában), hanem az ismert törvények eddig el sem képzelt bonyolultságú megnyilvánulásának felismeréséről van szó.

A fentiekből az is következik, hogy olyan jelenségek kapcsán nem beszélhetünk determinisztikus káoszról, melyek mögött bonyolult törvények állnak, vagy melyekben esetleg nem is tudjuk biztosan, hogy a törvények matematikai formába önthetőek-e (pl. a történelem esetén). Másrészt viszont vannak olyan matematikai struktúrák, amelyek kaotikus dinamikát produkálnak a számítógép képernyőjén (pl. a Julia-halmazokra vezető ismételt műveletek, iterációk, s a velük kapcsolatos Mandelbrot-halmaz), de biztosan tudható, hogy természeti jelenséget nem modellezhetnek, mert az időben fordított irányú mozgás állapot-meghatározása nem egyértelmű. (Az egyértelműségnek pedig valós természeti folyamatokra fenn kell állnia.)

Megadható egy egyszerű feltétel, mely a bonyolult mozgás létrejöttéhez szükséges. Ez a rendszer nemlinearitása. Lineáris rendszerben a következmények egyenesen arányosak a kiváltó okkal. Általában azonban a következmény nem egyenesen arányos a kiváltó okával, hanem annak bonyolultabb függvénye. A rugóban ébredő erő pl. arányos a megnyúlással, ha az kicsi, de nagyobb megnyúlás esetén az egyenes arányosnál gyorsabban nő.

A káosz tehát a nemlineáris rendszerek időbeli viselkedése. Mivel szinte minden rendszer ilyen, a káosz megjelenése tipikus. Ezen azt értjük, hogy a káosz lehetősége szinte minden nemlineáris rendszerben megvan. Az azonban, hogy ténylegesen megvalósul-e, a rendszer konkrét tulajdonságaitól és kezdeti helyzetétől is függ. Úgy tűnik, hogy mind a biológiai, mind a technikai evolúció főleg a periodikus viselkedésnek megfelelő paramétereket választotta ki, s ezért élhettünk sokáig abban a tévhitben, hogy nincs lényegesen különböző másik mozgásforma. (Poincaré már a múlt század végén tudta, hogy a bolygók rendkívül bonyolult pályákon is mozoghatnak, de ezt sokáig matematikai kuriózumnak tekintették. A hetvenes években azután, a meteorológiai jelenségek előre jelezhetősége mellett, éppen bizonyos állatfajok évi populáció-számának szabálytalan ingadozása - pl. a sáskajárás - volt az egyik fontos vonal, mely a káosztudomány kialakulásához vezetett.) A számítógépek elterjedésével az utóbbi két évtizedben hirtelen megfoghatóvá és könnyen szimulálhatóvá váltak a kaotikus mozgás szokatlan sajátságai.

II. Az előre jelezhetőség elvesztése

A kaotikus mozgás részletesebb megfigyelése egy alapvetően új tulajdonságot tár fel, a határozatlanság felerősödését. Ez azt jelenti, hogy a jelenségek alakulása rendkívül érzékeny a kiinduló helyzetre. Nevezik ezt a kezdőfeltételekre mutatott érzékenységnek is, s a pillangó-effektus is ennek egy megfogalmazása. Hiába igyekezünk két azonos falevelet azonos helyzetből leejteni, mozgásuk rövid idő után különböző lesz.

Ha a jelen állapot megadásában való apró pontatlanság következményei időben gyorsan növekednek, akkor a mozgás gyakorlatilag megjósolhatatlan. A kaotikus mozgás nem jelezhető előre. Ezzel minden olyan tudományban, ahol káosz előfordulhat, megjelenik az előre jelezhetőség problémája. A meteorológiában ez eddig is természetes volt, hiszen mindig várható még szélsőségesebb viselkedés, időjárási csúcsok megdöntése. Egy hosszú távon pontosan előre jelezhető rendszerben nem ez a helyzet.

A határozatlanság felerősödése rokon azzal a jelenséggel, amit instabilitásnak nevezünk. Az instabilitás azonban előfordul úgy is, hogy mozgások kivételes helyzeteit jellemzi csak. Ilyen például a hegyére állított ceruza helyzete, hiszen feldőlésének iránya leheletnyi finom hatásokon múlik. A mozgás további folyamán azonban az irány már nem változhat, instabilitás többé nem lép föl. Ezzel szemben a kaotikus mozgás során végig instabil állapotok között mozog a test. A káosz állandósult instabilitás. Végső soron ez a dinamikai instabilitás az előre jelezhetetlenség alapja.

Mivel a kiinduló helyzetbeli kis bizonytalanság mérési hibának is tekinthető (egy test helyét hétköznapi eszközökkel nem tudjuk tizedmilliméternél pontosabban meghatározni), azt mondhatjuk, hogy a kaotikus mozgás hibaerősítő. A természettudományban ez új helyzetet teremt, hiszen korábban mindenki feltette, hogy a kis kezdeti hibák kicsik is maradnak. A káosz forradalma azt a felismerést (is) jelenti, hogy ez általában nem igaz.

Ha a hibák rövid idő alatt ugyanakkorára nőnek, mint maguk a mérendő mennyiségek, akkor e rövid kezdeti idő után a mozgás véletlenszerűnek tűnik. Ezért a szokásos mozgáskövetési módszerek nem használhatók! Ebben a vonatkozásban tehát a káosz hasonlóvá válik a zajhoz. Ezért egyetlen mozgás pontos megfigyelése helyett érdemes mozgássokaságot vizsgálni: át kell térni valószínűségi leírásra.

Abban a tartományban tehát, ahol a kiinduló helyzetre való érzékenység fennáll, a mozgás helyes előrejelzése annyit jelent, hogy megadjuk, adott idő után, milyen valószínűséggel lesz adott helyen a test. Meglepő, de igaz, hogy ezzel a statisztikus szemlélet óhatatlanul bekerül pl. a mechanika eszköztárába is, ahol pedig Newton óta úgy tűnt, rá nem lesz sohasem szükség.

Fontos hangsúlyozni, hogy a valószínűségi leírás nem jelent bizonytalanságot, indeterminizmust. Sőt, az egyedi mozgásokkal szemben, a valószínűségek időfejlődése előre jelezhető. E leírással is nagyon pontos kijelentések tehetők, az átlagértékek például egzaktul megadhatók. A valószínűségi leírás elkerülhetetlensége a húszas évek óta nyilvánvaló a mikrorészecskék világában. A szokatlansága ellenére a valószínűségi módszer éppoly hatékony, mint a hagyományos, s elvezetett olyan alapvető új felfedezésekre, mint a tranzisztor, a mikrochip, a lézer vagy a szupravezetés.

Az eddigieket összefoglalva tehát a káosz olyan megjósolhatatlan mozgás, ami determinisztikus, azaz a körülmények által egyértelműen megszabott. A megjósolhatatlanság itt gyakorlati szempontból értendő: minden, tetszőlegesen kicsi kezdeti bizonytalanság a mérendő mennyiséggel azonos nagyságúra, sőt nagyobbra felerősödhet, s így a hiba több mint 100%-os lehet. Ugyanakkor a mozgás elvi szempontból determinisztikus (amit bizonyít a törvények [egyenletek] jellege is), azaz végtelenül pontos kezdeti adatok esetén a mozgás tetszőlegesen pontosan előre jelezhető lenne. A bonyodalmat az okozza, hogy az ilyen végtelenül pontos kezdeti meghatározás irreális absztrakció, s ennek lehető legjobb gyakorlati megvalósításai is drasztikusan különböző végkifejletre vezetnek. A káosz egyszerre fejezi ki az elvi determinizmust, s annak gyakorlati korlátait.

III. A rend: pontos geometriai szerkezet

A kaotikus mozgáshoz határozott geometriai szerkezet tartozik. A hiba fölerősödése ugyanis nem igaz minden kiinduló állapotra, ill. mindenfajta állandósult mozgásra. A részletes megfigyelés azt mutatja, hogy az előre jelezhetetlenség a mozgásnak csak egyértelműen meghatározott tartományain belül áll fenn. Ezen tartományokon kívül a mozgás periodikus, vagy közelítőleg az, tehát olyan, mint amit hagyományosan megszoktunk. A kaotikus és nem kaotikus tartományok elrendeződéséről szabad szemmel általában nem szerezhetünk tudomást.

Ahhoz, hogy a mozgás geometriájáról áttekintést kapjunk, egyfajta képszerű ábrázolást kell végrehajtanunk, egy mesterséges teret, az ún. állapotteret vagy fázisteret kell megalkotnunk, s a mozgást abban követnünk. Ez egyszerűen megtehető úgy, hogy a mozgás különböző jellemzőit ábrázoljuk egy koordinátarendszer különböző tengelyein bármelyik időpillanatban. A legegyszerűbb eset az, amikor pl. a kitérést és a sebességet ábrázoljuk a sík vízszintes és függőleges tengelyén. Általában azt látjuk, hogy a mozgás követése során az állapottéren egy érdekesen bonyolult alakzat rajzolódik ki.

A mindenkor jelen levő súrlódás miatt ez leggyakrabban a hosszú idő után beálló kaotikus mozgás képe. Ezt az alakzatot, mivel vonzó halmazként jelenik meg a fázistérben, kaotikus attraktornak nevezzük. Súrlódásos esetben az előre jelezhetetlenség a kaotikus attraktoron érvényes. A mozgás tehát itt véletlenszerű. Az ezt megelőző mozgás azonban nem az! Egyáltalán nem véletlen, hanem biztos, hogy a kaotikus attraktorra elegendő hosszú idő után rákerülünk. Ez a meghatározottság egyik fontos megnyilvánulása.

Az attraktornak, noha bonyolult alakzat, nincsen térfogata. A nulla térfogatú, de véges kiterjedésű és ezért bonyolult elrendezésű ponthalmazokat fraktáloknak nevezzük. A fraktálok olyan alakzatok, melyek minden részletükben a fraktál egészéhez hasonlóak. A kaotikus mozgás kapcsolata a fraktálokkal azt mutatja, hogy a periodikus mozgástól való eltérés minden léptékben jelen van.

Az attraktor egyértelmű geometriai szerkezete is a mozgás determinisztikusságának következménye. A káosz időbeli kiszámíthatatlanság és állapottérbeli rend egyszerre történő megjelenése. A mozgás és a szerkezet (dinamika és geometria) egysége világosan mutatja, hogy a determinisztikus káosz nem zaj (nem molekuláris káosz)!

Az egyetlen olyan jelenség, amelyben szabad szemmel is láthatóak a kaotikus mozgással kapcsolatos fraktál struktúrák, az a folyadékbeli keveredés dinamikája, pl. szennyeződés szétterjedése egy áramlásban. Ebben az esetben ugyanis az állapottér éppen egybeesik a fizikai térrel. Ezért a keveredés az egyetlen példa olyan kaotikus mozgásra, amelyben mindhárom alapvető tulajdonság hétköznapi módszerekkel is egyszerűen megfigyelhető.

A keveredés kaotikussága kapcsolatos az egyik általános természettörvény, az idő kitüntetett iránya, a megfordíthatatlanság, az irreverzibilitás kérdésével. Hiába keverjük ugyanis a tejszínt a kávéban adott irányban egy ideig, ha a keverést megfordítjuk, vagyis az eredeti keverő mozdulatokat időben visszafelé végezzük el, a tejszín nem veszi fel a beöntéskor megfigyelt alakját. Tovább oszlik szét a kávéban. Ennek oka az, hogy -noha az elvi determinizmus miatt súrlódásmentes esetben az eredeti alaknak vissza kellett volna állnia - kezünk nem irányítható végtelenül pontosan, s így lehetetlen, hogy a megfordított keverés annyira hű mása legyen az eredetinek, hogy az egész fraktál tejszín-alakzatot a kiindulásiba vigye át. Végső soron tehát mondhatjuk, hogy az irreverzibilitás a káosz következménye. Ez a determinizmus gyakorlati hiányának, s a hibák felerősödésének egy másik megnyilvánulása.

A keveredés esetén kívül, a valódi térben fellépő fraktálstruktúrák (pl. a hegy, a fa, a karfiol alakja, a Hold felszíne) ugyan valamilyen lassú növekedési folyamat végtermékei, de közvetlenül nem kapcsolatosak mozgással. A környezetünkben fellépő fraktálok tehát általában nem kaotikus mozgás eredményei (még akkor sem, ha bizonyos matematikai iterációk kaotikus attraktorain az ugráló pont meglepően hű mását rajzolja ki pl. egy levélnek). Az viszont mindig igaz, hogy a kaotikus mozgás mindig fraktál szerkezetekkel kapcsolatos, mely a képszerű ábrázoláshoz használt állapottérben jelenik meg.

Záró gondolatok

1. A káosz új mozgásforma

A determinisztikus káosz újfajta mozgástípust jelent. Bonyolultabb a szokásos szabályos mozgásoknál, melyek állandósult formája lényegében periodikus lehet csak. Ugyanakkor bonyolultabb a molekuláris káoszból eredő zajnál is, mivel a valószínűségi leírásban az, hogy a résztvevő elemek száma nagy, egyszerűsítési lehetőséget teremt.

A káosz átmenet a szabályos mozgás és a zaj között. Az összekötő szerep megmutatkozik abban, hogy a káosz már valószínűségi jellegű, mint a zaj (hívják ezért néha determinisztikus zajnak is), de a káosznak ugyanakkor még jól strukturált fraktál szerkezete van, míg a zaj az egész rendelkezésre álló állapotteret kitöltené. Ez az újfajta mozgásforma tehát komplexebb a két szélsőséget jelentő szabályos és zajos mozgásnál. Egyben szintézise a két pólusnak: köztük folytonos átmenetet teremt.

2. A pillangó-effektus csapdája

Az általános vonások áttekintése után térjünk vissza arra, mi a túlzás a pillangó-effektus sugallta értelmezésben. A kérdés az, hogy a brazíliai pillangó körüli légköri viselkedés rajta van-e azon a kaotikus attraktoron, melyhez a New York-i orkán tartozik. Ha ugyanis nincs rajta, akkor, amint láttuk, a határozatlanság felerősödéséről nem lehet szó, mert a mozgásnak az attraktorhoz elérése előtti szakasza nem instabil. A tapasztalat szerint a pillangó nincs rajta az attraktoron, s ilyen drasztikus távolhatásoktól nem kell tartanunk. (A helyzet teljességéhez hozzátartozik, hogy a légkör egésze szempontjából nem is beszélhetünk determinisztikus káoszról, hiszen a rendszerben lényeges szerepet játszó összetevők száma messze nem csekély. Így csak az időjárás bizonyos vonásai szempontjából lehet szó káoszról és a hozzá tartozó attraktorrról.)

Összegezve tehát, a pillangó-effektus csak az attraktor elérése után következhetne be egy törékenyen kicsi alakzaton való mozgás szokásos leírása kapcsán, s így semmi esetre sem szolgálhat indokul a teljes elbizonytalanodás filozófiájára. (A valószínűség-eloszlások szintjén egyébként nem is jelentkezik a pillangó-effektusnak megfelelő jelenség, ugyanis a különböző valószínűség-eloszlások időben nem válnak szét, éppen ellenkezőleg, egymáshoz tartanak a kaotikus attraktoron.)

3. Mire jó a káosz?

A kopernikuszi fordulat idején senki sem kérdezte, miért hasznos az a felismerés, hogy a Föld a Nap körül kering. Világképformáló szerepe nyilvánvaló volt. Ha a káosz jelentősége nem is mérhető össze ezzel, az analógia mégis érvényes, mert ismét világképformáló felismerésről van szó. A fenti I–III. tulajdonság mindegyike éppen eléggé újszerű, nem is beszélve arról, hogy bármelyikből következik a másik kettő. Hogy a káosz hasznos-e vagy sem, arra nincs egyértelmű válasz. Lehet ez is, lehet az is. Az autókarosszéria beremegése egyértelműen kerülendő, de egy turmixgép akkor működik jól, keverése akkor hatékony, ha erősen kaotikus mozgást hoz létre. Az élő szervezetben is van, amikor a kaotikus viselkedés a rendellenes, pl. a szív fibrillációja (az egészséges periodikus viselkedéssel szemben), de az EEG-jel csak betegség, epileptikus roham esetén lehet periodikus. A kopernikuszi fordulat idején senki sem sejtette, hogy ezen fog alapulni több száz év múlva az űrhajózás. Hasonlóan, ma még nem lehet tudni, milyen hasznos felfedezések lesznek a káosz megismerésének a következményei. Már ma is léteznek a káosz tulajdonságain alapuló eljárások pl. titkosított információ-átvitelre, vagy a káosz kontrolljára. Az utóbbival mind a kaotikus mozgás periodikussá tételét, mind a periodikus mozgás kaotikussá tételét el lehet érni. A káosz tehát egy újfajta általános időbeli viselkedés, mely sokkal összetettebb a megszokottnál, de nem misztikus. Feladatunk, hogy egyre jobban megértsük, s hasznunkra fordítsuk.

 

Vissza