Lineáris stabilitási elemzés - bevezető

A dinamikai rendszerek állapotváltozóinak időfüggését differenciálegyenletekkel írjuk le, amelyek a rendszer fizikai modelljéből következnek.

Tekintsük a következő esetet, amelyben a dinamikai rendszer változásainak leírására két állapotváltozó (X és Y) elegendő:

    (1)

Itt m a rendszert befolyásoló paramétereket foglalja össze.

Az egyenlet stacionárius (azaz időtől független) megoldását megkaphatjuk, ha az idő szerinti deriváltakat zérussá tesszük, és megoldjuk az így kapott f=g=0 egyenleteket. Mivel f és g általában nemlineáris, több Xss és Yss megoldás is lehet (az ss alsó index itt a stacionárius, angolul steady state kifejezésre utal).

A fizikai rendszer egy időpontban csak egy állapotban lehet, ezért valahogy el kell döntenie, melyik stacionárius állapotot választja. Ez két dologtól függ: a kezdeti feltételektől és a stacionárius pontok stabilitásától.

A stabilitás elemzésénél Xss és Yss kis perturbációjának időfüggését vizsgáljuk, azaz a

   (2)

perturbációkat tesszük az (1) egyenletbe, és - mivel feltevésünk szerint d X ésd Y kicsi - f-et és g-t a lineáris tagig sorba fejtjük . Két csatolt, lineáris differenciálegyenletet kapunk, amelyet legkényelmesebben mátrixos jelöléssel írhatunk le:

   (3)

a parciális deriváltakat tartalmazó mátrix neve Jacobi-mátrix: ennek sajátértékeit (és sajátvektorait) kell meghatározni a (3) egyenlet megoldásához.

A sajátértékek valósak vagy komplexek lehetnek. A stabilitást a sajátérték (valós részének) előjele határozza meg. Ha a sajátérték negatív(pozitív), a rendszer stacionárius állapotában bekövetkező kis perturbáció időben csökken(nő). A különféle eseteket az alábbi táblázat foglalja össze:

Stacionárius állapot sajátértékek lokális időbeli viselkedés fázistérbeli viselkedés
stabil csomó mindkettő valós, negatív monoton csökkenés
instabil csomó mindkettő valós, pozitív monoton növekedés
nyereg mindkettő valós, ellentétes előjelűek monoton növekedés
stabil fókusz komplex konjugált pár, valós rész negatív oszcilláló csökkenés
instabil fókusz komplex konjugált pár, valós rész pozitív oszcilláló növekedés

Érdekes dolgok akkor történnek, ha - a m paraméter(ek) változása miatt - valamelyik sajátérték előjelet vált. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a m kritikus értékénél bifurkáció történt.
Az elemzés - a sorfejtés lineáris tag után való megszakítása miatt - csak a stacionárius pontok kis környezetében, lokálisan érvényes. Az instabil esetekben általában tehát nem tudjuk megmondani, milyen trajektória alakul ki.
Kivétel azonban az az eset, amikor a komplex sajátérték valós része zérus lesz (egy fókusz elveszti stabilitását: l. a táblázat utolsó két sorát.) A Hopf-tétel szerint ilyenkor léteznie kell egy (stabil vagy instabil) határciklusnak az instabil fókusz körül. A Hopf-bifurkáció lokális viselkedést az alábbi ábra szemlélteti:

Hopf-bifurkáció. A paraméter kritikus értékénél a stacionárius állapot elveszti stabilitását. Az egyik paraméter (X) stacionárius értékét, ill. oszcilláló viselkedés esetén a szélsőértékeket tüntettük fel kihúzott vonallal. A szaggatott vonal az instabillá vált fókusz helyzetét mutatja.

Az alapfogalmak bevezetése után rövid kitérőt teszünk a populáció-dinamika területére, majd áttérünk az iterált leképezések vizsgálatára.

 

 

Vissza