Poincaré-leképezés

A határciklushoz vezető mozgások tanulmányozásánál is nagyon hasznos módszer a Poincaré-leképezés. Amennyiben a külső gerjesztés periodikus (a periódus ideje ), úgy megtehetjük, hogy az időt leszámítva N komponensű

állapotvektort csupán a T periódusidő egész számú többszöröseinél nézzük meg. Így az N dimenziós térben egy

pontsorozatot kapunk. (az vektor i-edik komponensét, pedig az n-edik iteráció eredményvektorát jelöli!) Mivel a

mozgásegyenlet jobboldalán álló függvény periodikus, egyértelműen meghatározza -et, vagyis a

leképezés függvényalakja nem függ n-tol. Amennyiben a mozgásegyenletnek egy T periódusidejű határciklusa van, úgy a Poincaré-leképezésnek valamilyen pontban fixpontja van:

ha pedig a határciklus 2T periódusidejű, akkor a leképezésnek kettes periódusú ciklusa, vagyis -nek fixpontja van:

és így tovább.

A Poincaré-Bendixson tétel szerint kétdimenziós folyamatokra a határciklusnál bonyolultabb attraktor nem alakulhat ki.

 

 

Vissza