Mozgásegyenletekről általában

Ezen a gyakorlaton egyszerű mechanikai rendszereket vizsgálunk, melyek alkalmasak arra, hogy a káosz kialakulásával kapcsolatos legfontosabb fogalmakat és jelenségeket, illetve a kaotikus mozgás jellemzésére alkalmas mennyiségeket rajtuk tanulmányozzuk és jól megértsük. Olyan rendszereket vizsgálunk, amelyek néhány szabadsági fokkal jellemezhetők, és időbeli fejlődésüket egyszerű differenciálegyeletek írják le.Egy véges sok szabadsági fokú mechanikai rendszert közönséges differenciálegyenlettel, vagy differenciálegyenlet-rendszerrel írhatunk le. Az egyenletekben általában magasabb időderiváltak is előfordulnak (például a mechanikában tipikus a második derivált), de a sebességeknek (vagy szükség esetén a magasabb deriváltaknak) új változóként történő bevezetésével a mozgásegyenlet az

alakra hozható. Ebben 

n-dimenziós vektor a fázistérbeli pozíciót határozza meg, 

pedig n számú adott, simának feltételezett függvény. Ha a (4) egyenlet jobboldalán explicite fellépne az idő, úgy azt az

 

új változó bevezetésével az



alakra hozható, vagyis autonómmá tehető (   egy tetszőleges időskála paraméter).

Az (5) egyenletrendszer egy több szabadsági fokú rendszer mozgását egyetlen pontnak egy n-dimenziós térben, az úgynevezett fázistérben történő mozgására vezeti vissza. Bevezetve a

     

jelölést (5.) a fázistér minden pontjához egy

sebességvektort rendel, vagyis a fázistérben egy áramlási teret definiál.

A mechanikai rendszerek között kitüntetett fontos szerepet játszanak a konzervatív rendszerek, amelyek energiája mozgás során állandó marad. Ilyenkor a mozgásegyenletek egy időtől független Hamilton függvényből származtathatóak:

ahol

  és

a kanonikusan konjugált változópárokat, 

 

pedig a n=2N változós Hamilton függvényt jelöli. Konzervatív rendszerek esetén a 

sebességmező divergenciamentes:

a fázistérbeli áramlás tehát egy összenyomhatatlan folyadék mozgásával analóg. Ennek az a következménye, hogy a fázistér valamely kiszemelt, és az áramlással együtt mozgó tartományának a térfogata időben állandó marad. Ez Liouville tétele.

Nem konzervatív, úgynevezett disszipatív rendszerek mozgásegyenletének 

áramlási tere nem forrásmentes, hanem

Ilyenkor a Liouville tétel nem érvényes, hanem a fázistérbeli térfogatelemek nagysága mozgás közben csökken.

Vannak olyan rendszerek, amelyek mozgásegyenlete egy, az időtől expliciten is függő

 

2N+1 változós függvényből származtathatóak a (8) kanonikus egyenletek segítségével. Ezek az úgynevezett Hamilton-féle rendszerek, amelyekben az 

energia ugyan nem mozgásállandó, de érvényes a Liouville tétel.

 

 

Vissza