A jelenség

Melegítsünk egy vízszintes folyadékréteget alulról. Ha a hőmérséklet gradiense egy küszöbértéket meghalad, a folyadék mozgásba jön és egy idő múlva stacionárius áramlás alakul ki. A felfelé és lefelé áramlás váltakozása révén a folyadékrétegben sajátos struktúrák jönnek létre. Ennek az úgynevezett szabad konvekcónak a beindulása a hidrodinamikai instabilitások egyik legegyszerűbb példája. Az első kísérleti megfigyeléseket Bénard végezte 1900-ban, míg a konvekciómentes állapot stabilitásának feltételét Rayleigh vezette le elsőként 1916-ban. Innen a jelenség neve: Rayleigh-Bénard instabilitás.

Amíg az edény alja és teteje között a hőmérséklet különbség kicsi, az energia áramlás a folyadékban hődiffúzió révén valósul meg. Amikor azonban túllépünk egy kritikus hőmérséklet különbséget, makroszkópikus mozgás kezdődik. Megfelelő peremfeltételek esetén az áramlás a 2 ábrán látható hengerszerű felületek mentén történik. A folyamat kontrolparamétere, amely a rendszer viselkedését meghatározza a hőmérséklet különbség.

  
Figure: A kísérleti elrendezés és a szabad konvekció kialakulása. d jelöli a minta magasságát, T a hőmérséklet, pedig a hőmérséklet különbség az alsó és a felső lap között.

A hőmérséklet különbség további növelésekor a a szabályos áramlási kép elromlik, a folyadék mozgása egyre bonyolultabbá, majd kaotikussá válik.

Ennek a jelenségnek a vizsgálatára Lorenz bevezetett egy egyszerű modellt. A rendszer nagyszámú módusai közül hármat tartott meg. E három módus X(t), Y(t) és Z(t) amplitúdója a hőmérséklet eloszlással és az áramlási teret jellemző áramlási függvénnyel kapcsolatosak. A részletek megtalálhatók az [1] irodalomban. Áramlásmentes esetben X=Y=Z=0, míg stacionárius hengeres áramlás esetén mindegyik amplitúdó időben állandó, véges érték. A hidrodinamikai egyenletekből megkapható az amplitúdók mozgásegyenlete:
 
A (45) egyenletrendszert nevezzük Lorenz - modell-nek. Ebben az r > 0 mennyiséget tekintjük kontrolparaméternek (ez tartalmazza -t). A további paraméterek standard értékei: . Megfigyelhető, hogy a (45) egyenletrendszer első oszlopában szereplő tagok az egyes módusok csillapítását adják, a második oszlopbeliek a gerjesztést írják le, míg a harmadik oszlop a nemlineáris csatolásokat tartalmazza.

A Lorenz egyenletekben r növelésekor a hengeres áramlásnak megfelelő tartományból rögtön kaotikus viselkedésű tartományba jutunk. A modell nem írja le hűen a Rayleigh-Bénard instabilitásban tapasztalt jelenségeket. A továbbiakban a modellt, mint a kaotikus viselkedésre vezető differenciálegyenletek prototípusát tekintjük.

 

 

Vissza