Alekszander Mihajlovics
Ljapunov
(1857 - 1918)

A Ljapunov-exponens becslése

Az elõzõ feladatban tulajdonképpen a Ljapunov-exponens közelítõ meghatározását végeztük el - ha jól, akkor az eredmények ln(2) körülinek adódtak. A következõkben - különösebb kommentár nélkül - két eljárást adunk az exponens becslésére.
Az elsõ a korábban használt módszer finomítása:
Nyilvánvaló, hogy pontosabb lenne az eljárás, ha n értéke minél nagyobb, az e kezdeti hibáé viszont minél kisebb lenne. Hiába választjuk azonban e értékét a kényelmes számábrázolási pontosság alsó határára (pl. 10-12-re), az esetek többségében csak egy-két tucat iterációt nyerünk. Más utat kell tehát választani.
Írjuk az En/E0 hányadost a következõ alakba:

azaz próbáljuk a teljes hibaterjedési faktort tényezõnként megbecsülni. Mivel (nagyon) nagyszámú iterációra szeretnénk az exponenst meghatározni, a szorzat nagyon sok tényezõbõl áll, és a szorzás eredménye valószínûleg gépben nem ábrázolható szám lesz (azaz túlcsordulást fog okozni). Szerencsére azonban minket csak a harmonikus közép érdekel, ezért elegendõ a logaritmusok összeadása - ez biztos nem jár túlcsordulásssal.
Hogyan becsüljük a k-adik lépésben fellépõ hibát? Tegyük fel, hogy a hiba növekedési faktora független a hiba nagyságától (ha az elég kicsi) - azaz ha Ek értékét felére csökkentjük, Ek+1 is felére csökken. Választhatunk tehát egy kis, tetszõleges e -t (legyen, mondjuk 0.0001), és az |Ek+1/Ek| hányadost becsülhetjük |E*k+1/e | alakban, ahol E*k+1=f(xk+e )-f(xk) - itt az f(x)=4x(1-x) jelölést használtuk a kvadratikus transzformációra.
Az exponens becslésére tehát a következõ formula szolgál:


Feladat
A most megadott formulák segítségével határozzuk meg ismét a kvadratikus transzformáció esetén az eltérések növekedési ütemét jellemzõ c állandót. Használjuk pl. az elõzõ feladat kiindulási értékeit (x0=0.202, 0.347 és 0.869), legyen e =0.001, és végezzünk egy-egy esetben 10, 100, 1000, 10000 és 100000 iterációt az átlagoláshoz. Vessük össze az eredményeket az elõzõ feladatban kapott értékekkel és az elméleti ln(2)-es értékkel.


A Ljapunov-exponens becslésére szolgáló második alak:

Itt f - csakúgy, mint az elõbb - a transzformációnak megfeleltetett folytonos függvény. A számítás során tehát az xn pontokban a leképezés deriváltját átlagoljuk.

 

 

Vissza