Természet Világa, 1996. szeptember


TÉL TAMÁS

Káosz egy csésze kávéban


Fraktál sodródási mintázatok áramlásokban


Idôben bonyolult, kaotikus viselkedés sokszor egyszerû, hétköznapi jelenségekben is megfigyelhetô. Jó példa erre a kávéba öntött tej vagy tejszín mozgása kavarás közben. Általánosabban, az áramló folyadékok felszínén sodródó adalékanyagok, szennyezôdések vagy festékfoltok gyakran bonyolult, szálas szerkezetû alakzattá folynak szét. Ennek az oka is a sodródó részecskék mozgásának kaotikus jellege, ami fraktál minták megjelenésével jár együtt. Meglepô, hogy a kaotikus viselkedés nem kapcsolatos az áramlás rendezetlen, turbulens jellegével; idôben simán változó, pl. periodikusan lüktetô áramlásokban is jelen van. Míg az egymáshoz közel induló részecskepályák gyorsan eltávolodnak egymástól és bonyolulttá válnak, egy részecske-sokaság, mint pl. egy festékcsepp idôfejlôdése jóval egyszerûbben követhetô. A csepp elegendô hosszú idô elteltével egy fraktál görbét rajzol ki, mely érdekes módon független a becseppentés helyétôl vagy a kezdeti alaktól. Az utóbbi évek új kutatási eredménye, hogy ez a görbe egy jól definiált matematikai objektum, egy ún. taszító sokaság. Ez az eredetileg elvont alakzat tehát a sodródással kapcsolatos jelenségekben közvetlenül megfigyelhetôvé válik. A taszító sokaság minden más kaotikus folyamatban, pl. pontmechanikai rendszerekben is jelen van, de egy absztrakt térben, a fázistérben jelenik meg, s így rejtve marad a közvetlen megfigyelés elôtt. A taszító sokaság menti szétterjedés és a fraktál sodródási szerkezet alapvetô jelentôségû a keveredési folyamatok szempontjából: minél bonyolultabb a sokaság, annál erôsebb a káosz és hatékonyabb a keveredés. A kaotikus sodródás tehát a káosz egyik legalapvetôbb, de egyben egyik leghétköznapibb és leglátványosabb megnyilvánulása is.


Áramló folyadékok és gázok gyakran magukkal sodornak kisebb-nagyobb, tôlük eltérô anyagi összetételû tárgyat. A sodródással kapcsolatos komplex viselkedés megértéséhez szükséges néhány fizikai fogalom bevezetése.

Egy áramlást akkor ismerünk, ha meg tudjuk adni minden t pillanatban és r hetyen az ottani folyadékrészecske v(r, t) sebességét. Mivel a v(r, t) sebességeloszlás sokváltozós függvény, szemléletes megjelenítésére különféle módszerek használatosak.

Az egyik gyakori jellemzési forma az áramvonalak megadása. Ezek azok a görbék, melyek érintôje minden pontban a folyadékrészecskék pillanatnyi sebessége irányába mutat, sûrûségük pedig a sebesség nagyságával arányos. Kísérletileg úgy tehetôk láthatóvá, hogy sok részecskét, pl. parányi teflongolyókat osztunk el az áramló folyadék felszínén és fényképfelvételt készítünk róluk megnyújtott expozíciós idôvel. Ez idô alatt a részecskék rövid szakaszokat futnak be, s az egymás melletti szakaszok áramvonalakká olvadnak össze a képen.

1. ábra. A henger körül kialakuló
idôfüggetlen áramlás áramvonalai
kis befolyási sebességek esetén.
(Felülnézeti kép, melyen a henger
fehér korongként jelenik meg.)
A fekete pöttyök torlódási pontokat
jelölnek. Az önmagukba záródó
áramvonalak örvényeknek
felelnek meg

Az áramlás másfajta jellemzôi az ún. pályavonalak. Egy pályavonal az a görbe, melyen egyetlen kiszemelt folyadékrészecske halad végig. Ennek ismeretéhez nem elég egy pillanatfelvétel, hanem hosszú ideig kell pl. videokamerával követnünk a részecskét. Ennél kísérletileg egyszerûbb egy festékcsepp sorsát követni, vagy azt vizsgálni, milyen rajzolatot ad a folyadékba egy adott ponton folyamatosan bejuttatott festék.

Az áram- és pályavonalak tehát különbözô objektumok, amelyek egyetlen esetben esnek egybe, amikor az áramlás idôtôl független, vagyis amikor a sebességeloszlás nem függ attól, mikor nézünk a rendszerre. Ilyenkor az áramvonalak nem változnak, és a részecskék azon az áramvonalon haladnak végig, melyre kezdetben kerültek.

Tekintsük azt a gyakori jelenséget, amikor az áramlás útjába valamilyen akadály kerül, mint pl. hídpillér a folyómederben. Konkrét példaként a legszabályosabb akadály, a henger esetét vizsgáljuk. Viszonylag kis befolyási sebességek mellett a henger mögött két állandósult örvény alakul ki (1. ábra). A pályavonalak egybeesnek az áramvonalakkal, amibôl következik pl., hogy a henger elôtt behelyezett részecskék sohasem kerülhetnek az örvényes tartományba, vagy fordítva, az örvények közelébe helyezett részecskék örökké ott is maradnak.


A sodródás

A festékrészecskék mozgását idôfüggô áramlás esetén nem olvashatjuk le az áramvonalak alakjából. A részecske nagyon rövid ideig ugyan az éppen aktuális áramvonalat követi, de ez utóbbi idôben változik, ezért a pályavonal különbözni fog bármelyik áramvonaltól. A legegyszerûbb közelítésben feltesszük, hogy a diffúzió elhanyagolható, hogy a festék sûrûsége megegyezik a közegével, s nincs tehetetlensége, azaz rögtön fölveszi az áramlás adott helyen és pillanatban érvényes v(r, t) sebességét. A részecske sodródását tehát a

vrészecske = v(r, t)                                                (1)

egyenlet alapján kell meghatározni. Ha az áramlás sebességeloszlása ismert, ez a matematika nyelvén egy közönséges differenciálegyenlet megoldását igényli, hiszen vrészecske = dr/dt. Érdemes hangsúlyozni, hogy a v ismeretében még csak kvalitatív állítás sem tehetô a pályavonalak alakjáról az (1) egyenlet megoldása nélkül. A tapasztalat szerint alapvetôen más típusúak lesznek, mint az áramvonalak. Érdekességként megemlítjük, hogy a klasszikus hidrodinamikai könyvek [1] meg sem említik a sodródás elméletét, hiszen a megoldások jellegérôl a számítógépek széles körû elterjedése elôtt szinte semmit nem lehetett tudni. A pályavonalak bonyolultságáról, melyre majd több példát is látunk, a sodródás kaotikus mivoltáról csak az utóbbi évtizedben kezdtek gyarapodni ismereteink (2].



A Kármán-féle örvényút

A henger körüli áramlás idôfüggetlensége egy kritikus áramlási sebességnél megszûnik. Ettôl kezdve az örvények nem tapadnak többé a hengerhez, hanem felváltva leválnak róla s elsodródnak a folyadékkal. Egy idô után kihalnak, miközben újabb örvény születik a hengerhez közel. Az így kialakuló áramlást elsô leírójáról, a magyar származású Kármán Tódorról Kármán-féle örvényútnak nevezik. Az áramvonalak idóben változnak, amint azt a 2. ábra jelzi, de az áramlás szigorúan periodikus: valamely T idô eltelte után a sebességeloszlás ismétli önmagát. Az egyszerû áramvonalszerkezet ellenére, a pályavonalak meglehetôsen bonyolultak lehetnek (3], ugyanis a részecskék hosszú ideig csapdába eshetnek a henger mögötti tartományban (3. ábra). Az áramvonalak és a pályavonalak alapvetô különbségére utal az a laboratóriumi felvétel is (4. ábra), ami a henger felületérôl leoldódó festék hatására kialakult mintát mutatja adott pillanatban (4]. Itt látható elôször az a fonalas szerkezet, amire a bevezetôben utaltunk. Gyakorlott szem felismerni véli azt a tulajdonságot is, hogy a minta bizonyos részletét kinagyítva ismét hasonló fonalas szerkezetet kapnánk, ami a fraktálalakzatok jellemzôje [5].

2. ábra. A henger körüli áramlás áramvonalai a Kármán-féle örvényút kialakulása után. Az elsô kép a t=0 pillanatban, a második a negyed periódussal késôbbi (t=T/4) állapotot mutatja. Az eredetileg a henger alsó része mögötti örvény negyed periódus alatt hátrább sodródik és gyengül, miközben a henger felsô része mögött egy új örvény fejlôdik ki. A t=T/2 és t=3T/4 pillanatbeli áramvonal-hálózat a bal oldali, ill. jobb oldali képnek a kör közepén átmenô vízszintes tengelyre való tükrözésével kapható. A teljes periódussal késôbbi áramlás (t=T) azonos a bal oldali képen láthatóval

3. ábra. Bonyolult pályavonal a Kármán-féle örvényútban (számítógépes szimulálás) [3]. A pontok a részecske helyét mutatják egyenlô idôközönként. Jól látszik, hogy a mozgás a henger mögött lelassul, a pontok vonallá állnak össze 4. ábra. Fényképfelvétel a henger felületérôl leoldódó festék mintázatáról a Kármán-féle örvényútban [4]. A kép bal szélén elhelyezkedô hengernek csak a fele látszik



Füstkarikák kergetôzése

5. ábra. Kergetôzô füstkarikák labora-
tóriumi felvételen [4]. Az elsô képen
kialakult füstkarikák közül a hátsó
összehúzódik és fölgyorsul, majd
áthatol a közben kitágult elsô
karikán (2-3. kép). A szerepek
ezután fölcserélôdnek (4. kép)

Egy másik érdekes áramlás a dohányosok által ismert füstkarikák viselkedésével kapcsolatos. Ha sikerül két közel azonos füstkarikát fújni egymás után, melyek közös tengely mentén haladnak elôre, azok kölcsönhatása sajátos mozgásformához vezet. A hátsó karika az elsô sebességterében összenyomódik és felgyorsul. Eközben az elsô kitágul és lelassul, aminek következtében a hátsó karika átbújik az elsôn és megelôzi azt. Ettôl kezdve viszont a szerepek felcserélôdnek, s minden kezdôdik elölrôl [4]. Így tehát egy szigorúan periodikus örvénymozgás alakul ki, ami egy T periódusidôvel ismétlôdô áramlással párosul. Az 5. ábra a füstkarika-kergetôzés laboratóriumban megfigyelhetô fázisait mutatja. Most a füstszemcsék maguk játsszák a festék szerepét, s amit látunk, az a szemcsék által kirajzolt mintázat.



Torlódási pontok

A torlódási pontok az idôfüggetlen áramlás azon pontjai, ahol a folyadék áll. Az 1. ábrán pl. öt ilyen pontot láthatunk, négyet a henger felületén, egyet mögötte. A torlódási pontok közelében az áramvonal-hálózat jellegzetes keresztszerkezetû. Két vonal vezeti a részecskéket a torlódási ponthoz, s két másik vonal jelöli ki, hogyan távolodnak el azok a részecskék, melyek a torlódási pont közelébe kerültek (6. ábra). (A henger felületén lévô torlódási pontok esetén egy-egy vonal hiányzik, ugyanis az a henger belsejébe esne, ahol nincs folyadék.)

Azt a görbét, amely mentén a torlódási pont elérhetô, vonzó (stabil) sokaságuak nevezzük, amely mentén pedig eltávolodnak tôle a részecskék, azt taszító (instabil) sokaságnak [2]. Ebbôl következik, hogy ha egy festékcseppet juttatunk a folyadékba úgy, hogy az átfedjen a vonzó sokasággal, akkor a részecskék egy része e sokaság mentén megközelíti a torlódási pontot, annak környékén marad, s hosszú idô után a taszító sokaság mentén távolodik el. A festékcsepp gyorsan el nem sodródó részecskéi tehát hosszú idô után a taszító sokaságot rajzolják ki.

6. ábra. Torlódási pont vonzó és taszító sokasága



Periodikus pályák

7. ábra. Két periodikus
pályavonal (melyek
egymás tükörképei)
numerikus szimulálással
kapott képe a Kármán-
féle örvényútban [3]

Vegyük észre, hogy a torlódási pont egyben egy speciális periodikus "pálya", egy olyan részecske helye, mely sohasem mozdul el. Periodikusan idôfüggô áramlásokban a torlódási pontok szerepét valódi periodikus részecskepályák veszik át. Ezek olyan festékmozgások, melyek a T periódusidô (vagy annak egész számú többszöröse) után szigorúan visszatérnek kezdeti helyzetükbe. A Kármán-féle örvényútban kialakuló T periódusú pályákra mutat példát a 7. ábra. Ha a henger mögött adott távolságban és jól megválasztott pillanatban helyezünk be a folyadékba egy festékrészecskét, akkor elôfordulhat, hogy a felsô félsíkon levô örvény azt hátrafelé és lefelé sodorja, miközben az örvény már jóval eltávolodik. A részecske ezután az éppen kialakuló újabb örvény terében hátrafelé, majd a henger fala mentén felfelé sodródik, majd elôre úgy, hogy T idô után éppen a kiindulási pontba kerül vissza.

Az áramlás periodicitása miatt célszerû úgy vizsgálni a sodródást, hogy T idônként nézünk csak a rendszerre, pl. akkor készítünk csak fényképfelvételt a részecskék helyzetérôl. A továbbiakban ezzel az ún. stroboszkopikus leképzéssel foglalkozunk. Az elnevezés a kísérleti fizikában használatos stroboszkóp nevû berendezésre utal, mely szabályosan szaggatott megvilágítás létesítésére képes. Egy T periódusú részecskepálya a stroboszkopikus leképzésen egyetlen önmagát ismétlô pontnak, fixpontnak felel meg. Egy általános mozgás a leképzésen ugrálva haladó pontsorozatként jelenik meg. A stroboszkopikus leképzésen a periodikus pályák hasonló szerepet játszanak, mint az idôtôl független áramlás torlódási pontjai. Ennek megfelelôen minden periodikus pályának van egy vonzó és egy taszító sokasága, egy-egy görbe, melynek mentén a periodikus pályának megfelelô pont (ugrálva) elérhetô, ill. amely mentén a pont kis környezetébôl eltávolodnak a részecskék.

 

 

Vissza