Káoszelmélet

Bevezető (betévedő) a káoszba frakt5.gif (12062 bytes)

Annyit hallani manapsag arról, hogy káoszelmélet így, pillangóeffektus úgy, meg hogy nemlineáris egyenletek amúgy, de hát mégis mit jelentenek ezek a bonyolult kifejezések? Egyáltalán mi az a káosz? Hogyan lehet valami, ami szilárd és objektív, matematikailag kaotikus? Ez a kis bevezető ezekre és a hasonló kérdésekre próbálja megadni a választ.

A káosz nem tudományág, nem egy elmélet, nem a matematika egy elvont ága. A káosz egy jelenség, amely mindennapjainkban éppúgy megtalálható, mint a természettudományok számos ágában. Mindazonáltal ezeknek a jelenségnek a megértése és matematikai leírása mindössze közelnapjainkban kezdődött meg. Káoszelméletnek nevezhetjük mindazt, amit a káosz legkülönbözőbb megjelenési formáiról tudunk, illetve azoknak a matematikai leírását.

Mielőtt kedves olvasó belevetnéd magadat a káosz rejtelmeibe, tegyünk egy kis kitérőt, hogy megértsd a káoszhoz szorosan tartozó, ám önmagukban is elképesztő alakzatoknak, a fraktáloknak a fogalmát. Egy fraktál egy olyan ábra, amely önmagát ismétli minden szinten, akármekkorára nagyítjuk is ki. Ez az ábra például egy fraktál:

frakt1.gif (9687 bytes)

1. ábra

Ezeknek a fraktáloknak az a furcsa tulajdonsága, hogy nagyon egyszerű szabályokkal leírhatók, mégis nagyon bonyolult alakzatokat eredményeznek. Egy híres paradoxon is kötődik a fraktálokhoz. A kérdes az, hogy mekkora Nagy-Britannia kerülete? Első ránézésre a feladat lehet, hogy nem tűnik nehéznek, ám mégis az. Nem lehet ám azt csak úgy megmérni.

Vegyünk például néhány egy kilométeres vonalzót, járjuk körbe a szigetet, és egymás mellé rakosgatva a vonalzókat, megmérhetjük a kerületét. Igen ám, de lesznek olyan kisebb-nagyobb görbületek a parton, amelyek kisebbek egy kilométernél, és azokat nem fogjuk tudni számításba venni, hiszen a vonalzónk egyenesnek tekinti őket. Vagy vegyünk egy egy metéres vonalzót? Az így kapott kerület valamivel nagyobb lesz, mint az előző, és pontosabb is, ám megint csak nem lesz teljesen jó, hiszen ezúttal az egy méternél kisebb görbületeket hagyjuk figyelmen kívül.

A kerületet soha nem fogjuk tudni megmérni teljesen pontosan, mivel a szigetország körvonala maga is egy fraktál, olyan, mint a 2. ábra. Ennek következtében a kerület végtelen hosszú. Az érdekes azonban az, hogy egy ilyen végtelen vonal egy véges területet foglal magában. Mert hiszen tudjuk peldául, hogy Nagy-Britannia területe kisebb, mint Európáé.

Ha érdekelnek a fraktálok, nézz meg néhány
gönyörű példányt, amelyet mi gyűjtöttünk össze!

Káosz az állatok között frakt6.gif (7856 bytes)

Hogy mi köze a fraktáloknak, kerületeknek és területeknek a káoszhoz? Mindjárt kiderül. Most már tényleg rátérhetünk magának a káosznak a taglalására. Hogy világos legyen, miről szól a káosz, hadd mutassak neked, kedves olvasó, egy példat a biológia területéről. A biológusok már nagyon régóta egy roppant egyszerű matematikai képletet (egy differencia egyenletet) használnak annak modellezésére, hogyan változik egy állatpopulació mérete évről évre:

xn+1 = r xn (1 - xn )

Ez a képlet leírja, hogy ha az n.-ik évben xn az állatok száma, akkor hogyan lehet megmondani, hogy a következő évben mennyi lesz az állatok száma (xn+1). Az r pedig egy paraméter, akármilyen szám lehet 0 és 4 között, és az adott állatpopulációra jellemző, például azt írja le, hogy milyen gyorsan szaporodnak.

Ez szép és jó, de mire jó ez? Nos, a biológusokat az érdekli, hogy hosszú távon mi lesz az állatokkal, például kihalnak-e, vagy beáll egy adott állandó érték, vagy ehhez hasonló. Hogy ezt megjósolhassák, a fenti képletnek egy grafikus változatát használják. Az x(1-x) kifejezés egy fejjel lefelé fordított parabola képlete. A parabolát, meg egy egyenes vonalat felhasználva, könnyen megmondható, mi lesz hosszútávon, ahogyan azt az ábrák mutatják:

 

   

3a. ábra                                3b. ábra

 

Hogy hogyan kell használni az ábrákat? Nos, elindulunk akárhonnan, és onnan egy vonalat húzunk a parabolához. Onnan az egyeneshez. Onnan megint a parabolához. És így tovább, ahogy a nyilak mutatják. A dolog érdekessége, hogy az állatok jövője nem függ attól, hogy honnan indulunk. Az ábrák a következő eseteket szemléltetik:

3a. ábra: x eléri a nullát, az állatok kihalnak

3b. ábra: x beáll egy állandó értékre (5.2), az állatok száma állandó

Nos, a fent említett eljárást még papíron is egyszerű volt elvégezni, de főleg a számítógépes korszak óta roppant egyszerű a feladat. Egy számítógép 10 perc alatt programozható be a fenti ábrák kiszámítására.

Próbáld ki élőben a káoszt! Kattints a Java-programunkra, ahol te állíthatod be a kaotikus rendszer paramétereit.

De mégis, mi a következtetés az ábrákból? Nos, ami a biológusokat zavarta, az az, hogy úgy tűnt, adott r érték fölött  az állatpopuláció összevissza ugrál, nem akar megállni. És beáll a káosz. Nagyon sokáig azt hitték, ez a képlet hibája, ám nemrégiben rádöbbentek, hogy a képlettel semmi gond, az állatpopuláció természetétől fogva kaotikus!

Ami még rosszabb, hogy ezek után abszolút nem lehet megmondani, hogy mi lesz hosszútávon az állatokkal, hiszen a helyzet soha nem ismétli önmagát. Sőt. A nem kaotikus esetekben az állatpopuláció száma, függetlenül attól, honnan indulunk, már néhány éven belül körülbelül azonos értékeket vesz fel.

Viszont a kaotikus esetben abszolúte nem lehet megjósolni egy adott kiindulópontból, hogy mi a populáció jövője. A jövő pedig nagyban függ attól, milyen x értékkel kezdtük a folyamatot. Még két, egymáshoz nagyon közeli x kezdőérték is nehány éven belül teljesen különböző eredményekre vezethet. Ahhoz, hogy megmondhassuk, néhány év múlva mi lesz az állatokkal, nagyon pontosan kell ismernünk x kezdeti értékét.

Pillangók és hatásaik frakt7.gif (9579 bytes)

 

És itt elérkeztünk a pillangó-effektushoz. A pillangó-effektust legtöbbször úgy szokták megfogalmazni, hogy egy pillangó meglebegteti a szárnyát Afrikában, mire elered az eső Londonban. Hogy ez mit jelent, azt a mi kis állatpopulációnkhoz való hasonlattal fogom megmagyarázni.

A természetes rendszerek többsége (mint pl. az időjárás) olyan, mint az állatpopuláció kaotikus r értékkel. Ebben az esetben pedig már egy nagyon kicsi eltérés is a kezdeti feltételekben elég ahhoz, hogy a közeli jövő teljesen megváltozzon. Az, hogy a pillangó meglebegteti-e a szárnyát vagy sem, apró, látszólag jelentéktelen eltérés. Ám a jövő módosul, és többé senki nem tudja megjósolni, hogy az eső esni fog-e vagy sem. A gyakorlatban nem tudunk minden apró részletet figyelembe venni, ám mivel az apró részletek is megjósolhatatlanná teszik a jövőt egy kaotikus rendszerben, lehetetlen hosszú távon jövőbe látni.

Az időjárás még egy szempontból jó példa. Mindenki megfigyelhette, hogy néhany napnál hosszabb előrejelzéseket soha nem adnak, vagy csak nagyvonalakban. Pedig az időjárást leíró fizikai képleteket nagyon jól ismerjük, és vannak elég gyors számítógépek ahhoz, hogy akármekkora távra előre kiszámolják a jövő időjárását a jelen helyzetből kiindulva. Ám a probléma ott van, hogy mi a jelent sem ismerjük eléggé pontosan.

 

Káosz és fraktálok: a kép összeáll frakt4.gif (11686 bytes)

Na, de mindennek mi a köze a fraktálokhoz? Hát most jön a nagy meglepetés. Csináljuk azt, hogy egy grafikonon felrajzoljuk azt, hogy különböző r értékekre hosszú távon mi az állatpopuláció jövője. Ekkor a következő ábrát kapjuk:

4. abra

Nagyon kicsi r értékeknél az állatok kihalnak (3a. ábra). Valamivel nagyobb értékeknél egy adott értékre állnak be (3b. abra). Ezután a vonal kettéválik. Ez azt jelenti, hogy az állatok száma két érték között váltakozik. Majd négy. Aztán nyolc. És így tovább. Ahogy az ábra közelít a kaotikus határhoz, a vonal végtelenszer kettéválik, mi pedig egy fraktált kapunk. A fraktalok pedig matematikailag leírhatóak, ahogyan ez az ábra is. Egy roppant egyszerű képlet végtelen bonyolultságú ábrát ad.

 

Egy inga ingóságai: a fázisdiagram frakt2.gif (12931 bytes)

Közelítsük most meg a káoszt egy másik oldalról. Ehhez meg kell hogy ismertesselek, kedves olvasó, a fázisdiagrammal. Vegyünk egy másik példát, az inga példáját. Egy inga állapota két jellemzővel teljesen leírható: a helyzetével (hogy milyen távol van a középponttól), és a sebességével. Ezen kívül más adat nem kell, nincs, nem is szükséges. Egy olyan ábrán pedig, ahol az egyik tengely a sebesség, a másik a helyzet, egyszerűen lehet ábrázolni az inga állapotát:

5. abra

Az A pontban például nagy a távolság a középponttól, de kicsi a sebesség: az inga magasan fenn jár, közel mozgásának tetőpontjához. Vagy a B pontban a sebesség nagy, a távolság kicsi a középponttól. Az inga éppen a középpont felé száguld.

Ami azonban a fontos, az az, hogy egy adott pontból kiindulva az ábrán mindig ugyanarra fog vinni az út. Ennek az az oka, hogy a fizika törvényei nem változnak, a sebesség/helyzet pár teljesen elég a rendszer leírására, mást pedig nem vehet figyelembe a természet, így ismételni kell önmagát. Ennek aztán az a következménye, hogy ha egyszer a rendszer elért egy állapotot, amiben egyszer már volt, akkor pontosan ugyanúgy fog továbbhaladni, mint azelőtt. Ez viszont azt jelenti, hogy a fázisdiagramon a vonal egy zárt kört alkot:

7. abra

Ha egyszer a rendszer rákerült a vonalra, akkor azt soha el nem hagyhatja, végtelenségig ismételgetni fogja önmagát.

A káosz hogy jön ide? Jó kérdés. Legyen egy rendszerünk, amelynek leírásásra alkalmas a sebesség és a helyzet, ám ami kaotikus, tehát soha nem ismétli önmagát. Hogyan lehetne egy ilyen rendszert ábrázolni egy fázisdiagramon? A rendszer leírásához egy olyan vonalra lenne szükségünk, ami soha nem keresztezi önmagát. Ha egyszer keresztezte önmagát a vonal, akkor a rendszernek ugyanarra kéne mennie mint azelőtt, ismételve önmagát, és akkor nem lenne kaotikus. Ezt elkerülendő, a vonalnak végtelenül hosszúnak kell lennie.

Na, de mi van akkor, ha ugyanakkor tudjuk, hogy a sebességnek és a helyzetnek jól körülírható határai vannak, vagyis a fázisdiagramon belül egy adott zárt területen belül kell lennie a vonalnak? Nos, ilyenkor az van, hogy adott egy végtelen hosszú vonal, egy véges kicsi területen belül. És az egyetlen lehetőség erre egy fraktál, mint amilyen a 2. ábra is volt.

 

Differenciálegyenletek változást hoznak frakt1.gif (9687 bytes)

Itt lépnek be a képbe a differenciálegyenletek, a természettudományok és a matematika eme furcsa eszközei. Hogy ezek mik, hogyan viselkednek, mit csinálnak, önmagukban megérnének egy külön ismertetőt. Most legyen elég annyi, hogy egy differenciálegyenlet azt írja le, hogy egy rendszer hogyan változik egy adott szituációban. Vegyük például az ingát. Egy hagyományos függvény, ami leírja az inga mozgását, megmondaná, hogy az ingának egy adott pillanatban mi a helyzete vagy a sebessége. Egy differenciálegyenlet viszont azt mondja meg, hogy egy adott sebesség/helyzet pár esetében azok hogyan változnak, vagyis például gyorsulni vagy lassulni fog az inga, közelebb vagy távolabb fog kerülni a középponttól stb.

Egy differenciálegyenletnek a megoldása pedig abban áll, hogy mindenféle matematikai trükkök segítségével a szegény tudós megpróbálja kikövetkeztetni a differenciálegyenletből a hagyományos függvényt.

Mindez azt jelenti, hogy a hagyományos függvény az, ami leírja a fázisdiagramon végigvonuló vonalat, míg a differenciálegyenlet irányjelző nyilacskákkal rakja tele a fázisdiagramot, valahogy így:

8. abra

Amikor sajnos a fázisdiagrambeli vonal végtelen hosszú és bonyolult, mert például egy fraktált alkot, akkor azt lehetetlen egy hagyományos függvénnyel leírni. Ilyenkor minden arra irányuló kísérlet, hogy a vonalat leíró hagyományos függvényt megkapjuk a differenciálegyenlet megoldásával, meghiúsul. A differenciálegyenletek egy adott csoportja, amit nemlineáris egyenleteknek hívnak, különösen hírhedt arról, hogy nem lehet őket megoldani.

Nos, nagyon sok természettudományos törvény differenciálegyenletek segítségével van leírva. Ha ezeket meg tudnánk oldani, akkor lehetőségünk lenne arra, hogy a kapott függvény segítségével megmondjuk, hogy egy adott tetszőleges időpillanatban a jövőben mi lesz a rendszer állapota. Ám rengeteg esetben ez lehetetlen, és ezért vagyunk képtelenek megjósolni a jövőt. Az egyetlen megoldás, ami marad, hogy a differenciálegyenlet segítségével végiglépkedünk a fázisdiagramon a nyilacskák útmutatása alapján. Ehhez azonban nagyon pontosan kell tudni, honnan induljunk, ahogyan azt az állatpopuláció példájánál már láthattuk.

Így tehát rengeteg kaotikus rendszer (mint például az időjárás) ugyan leírható fizikai törvényekkel differenciálegyenletek formájában, ám azok meg nem oldhatók, hogy a fázisdiagram vonala védve legyen. A jövőt megjósolni nem vagyunk képesek.

A káosz még csak most kezdődik frakt5.gif (12062 bytes)

Egy végső példa a káoszról. Biológusokat régóta zavarta az a tény, hogy az emberi DNS, noha rengeteg információt tartalmaz, közel sem tartalmaz elég információt ahhoz, hogy az emberi agynak a teljes leírását tartalmazhassa. A DNS egyszerűen nem eléggé komplex az agyhoz képest. Ám a titok megoldódni látszik. A természet egy trükkhöz folyamodott, és a káoszt hívta segítségül: a DNS nem az agy leírását tartalmazza, hanem az agy elkészítésének a szabályait. Ahogyan azt láthattad kedves olvasó, noha a szabályok maguk roppant egyszerűek lehetnek, még simán eredményezhetnek egy olyan bonyolult, komplex és kaotikus rendszert, mint az agy.

brain.jpg (14630 bytes)

Az emberi agy: egy roppant összetett, és bonyolult fraktál

A fent említett példák illusztrálják a káosznak néhány alapvető tulajdonságát, amelyen kívül még számos, nemrégiben felfedezett meglepetés nem került tárgyalásra (például egy új matematikai állandó lehetséges felfedezése, a pi és az e mellett). A legelképesztőbb azonban a káosz univerzalitása: minden tudományág rengeteg területén felüti fejét. Matematikusok és tudósok, akik eddig teljesen mással foglalkoztak, kezdik felfedezni, hogy valami közös van a munkájukban. A káosznak, mint jelenségnek a kutatása pedig még csak éppen hogy elkezdődött.

 

A szövegben előforduló kifejezések

Káosz: Az a jelenség, amikor egyszerű szabályok/egyenletek segítségével leírható egy bonyolult rendszer, amelynek állapotai nem ismétlődnek, és így lehetetlen jövőbeni állapotait megjósolni.

Fraktál: Egy olyan ábra, amely egyszerű szabályokkal leírható, ám minden szinten ismétli önmagát így végtelenségig nagyítható.

Fázisdiagram: Egy rendszer összes tulajdonságát együtt tartalmazó ábra, amely a rendszer lehetséges állapotait tükrözi.

Pillangó-effektus: Kaotikus rendszerekben gyakori, hogy a kiindulási feltételek kismértékű megváltoztatása is nagy mértékű változásokat idéz elő egy rendszer állapotában rövid időn belül. Ez a jelenség a pillangó-effektus.

Differencia egyenlet: Egy olyan képlet, amelynek segítségével egy rendszer jelenlegi állapotát ismerve a következő megkapható, vagyis aminek a segítségével sorozat alkotható. Pl.:   xn+1 = r xn (1 - xn )

Differenciál egyenlet: Egy olyan képlet, ami a rendszer jelenlegi állapotát ismerve az állapot változását írja le. Pl.:   dy/dt = y + t

Differenciál egyenlet megoldása: Egy differenciál egyenletből a rendszer összes lehetséges állapotát leíró függvény kikövetkeztetése. Például a dy/dt = 2t differenciál egyenlet megoldása az y = t2 függvényt adja megoldásképpen.

Nemlineáris egyenlet: Olyan differenciálegyenlet, amelyben a függő változó egynél nagyobb hatvánnyal szerepel, pl. dy/dt = y2. Ezek többsége nem megoldható.

Írta: Radnai Zoltán

Email: zoli@net.hu

 

Vissza