Fázistér, trajektóriák - bevezetés
Tekintsünk egy harmonikus oszcillátort. A szokásos jelöléseket használva, a teljes energia kifejezhetõ a maximális potenciális és a maximális kinetikus energiával egyaránt:

A teljes energia minden pillanatban a kinetikus és a potenciális energia összege:

Egyszerû átalakítással kapjuk a két egyenletbõl:

Ez egy ellipszis egyenlete egy olyan koordinátarendszerben, ahol az egyik tengelyen a hely-, a másikon az impulzuskoordináta áll. Az oszcillátor pillanatnyi állapotát egy pont írja le, amely a rezgés egy periódusa alatt körbejár az ellipszisen.

A harmonikus oszcillátor állapotát tehát két paraméter segítségével egyértelmûen megadhatjuk. A paraméterek által kifeszített teret állapot- vagy fázistérnek nevezzük (ez példánkban kétdimenziós). A rendszert reprezentáló pont útvonalát trajektóriának nevezzük. (A fázistér általában annyi dimenziós, ahány szabadsági foka van a kérdéses rendszernek. Egy szabadon mozgó tömegpont állapotát három hely- és három impulzuskoordinátájának megadásával rögzíthetjük, a fázistér tehát ebben az esetben hatdimenziós.)

A harmonikus oszcillátor különbözõ kezdeti feltételeknek (azaz összenergiának) megfelelõ trajektóriái koncentrikus ellipszisek. A rendszer rövid ideig tartó, alkalmas perturbációjával a fázispontot bármelyik ellipszisrõl bármelyik másikra átvihetjük. Mivel az oszcillátort súrlódásmentesnek tekintettük, külsõ perturbáció hiányában a rendszer az aktuális ellipszisen a világ végéig körbejár.

Vezessünk be most egy csillapítási (súrlódást leíró) tagot! Megmutatható - bár intuitíve is világos -, hogy ilyenkor akármelyik kiindulási ellipszisre helyezzük is a rendszert leíró fázispontot a kezdeti feltétel alkalmas megadásával, a pont spirális pályán végül az origóba fog befutni. A súrlódás lényegesen megváltoztatta a rendszer viselkedését: a kezdeti feltételektõl függetlenül a rendszer ugyanabba a (jelen esetben triviális) végállapotba fut be az idõ múlásával - mintha az origó vonzaná a rendszer állapotát leíró pontot. A fázistérben azt a halmazt, amelyen a rendszert jellemzõ pont hosszú idõ elteltével mozog, ezért attraktornak nevezzük - jelen esetben ez egyetlen pont.

Hogy a mozgás ne mindig ugyanahhoz az unalmas végállapothoz vezessen, lökjük meg az oszcillátort minden rezgési periódusában egyformán. A gerjesztés révén tehát közlünk is vele energiát, a súrlódás miatt meg veszít is - az állandósult mozgás nyilván olyan lesz, amelyben ez a két hatás kiegyenlíti egymást. A trajektória ismét egy ellipszis lesz - de a korábbi esethez képest egy lényeges különbséggel.

Ha ugyanis most éri valamilyen perturbáció a változatlanul lökdösött rendszert (egyszer nagyot lendítünk vagy fékezünk rajta), elõbb-utóbb a trajektória visszacsavarodik az eredeti ellipszisre - most tehát ez az attraktor. A rendszer viselkedése határciklust mutat. A kétdimenziós esetben ez a legbonyolultabb attraktor. Látni fogjuk, hogy nagyobb szabadságfokú rendszerekben a trajektóriák és az attraktorok ennél sokkal változatosabbak is lehetnek.

 

Vissza