Különös attraktor, rekonstrukció

1976-ban Otto. E. Rössler különösen egyszerű rendszert talált, amely azonban egyszerűsége mellett is képes kaotikus viselkedést produkálni. Rössler három differenciálegyenletet írt fel:

ahol x(t), y(t) és z(t) a t változó meghatározandó függvénye; a vessző t szerinti deriválást jelöl; a, b, és c pedig állandók. Megjegyezzük, hogy a három egyenletben csak egyszer (az xz szorzatban) fordul elő nemlineáris tag. Csak az a=b=0.2 esettel foglalkozunk, c értékét változtatjuk.


Feladat
Alkalmas numerikus módszerrel oldjuk meg az egyenletrendszert c=5.7 választással és a (-1,0,0) kezdeti feltétellel. Ábrázoljuk az adott t-hez tartozó xyz-számhármasokat térbeli koordinátarendszerben. Ha jól számoltunk, az ábra az alábbira hasonlít:

A Rössler-attraktor. Balra: térbeli ábra, jobbra: két vetület.

Kísérletezzünk c más értékeivel is, és diszkutáljuk az eredményt.



Ha különböző kezdeti feltételekkel számolunk is, a trajektória előbb-utóbb a furcsa, Möbius-szalagra emlékeztető, de annál bonyolultabb topológiájú attraktorra kerül. Papírból némi vágás, csavarás és hajtogatás után elkészíthető - a modell mégsem pontos, mert megmutatható, hogy az attraktor dimenziója kettőnél kicsivel nagyobb: az attraktor tehát fraktál. A fraktális attraktort különös attraktornak is nevezik.

Kísérleti úton kapott adatoknál - az esetek döntő többségében - ez az út nem járható, mert rendszerint nem tudjuk mérni az összes lényeges paraméter időfüggését. Gyakran egyetlen idősorral kell megelégednünk (az elektrokémiai mérés esetében az áram időfüggését mérjük). Az attraktort azonban ilyenkor is rekonstruálhatjuk a következő eljárással, amelyet a háromváltozós eset példáján szemléltetünk.

Jelölje x(t) a mért idősort. Válasszunk egy t késleltetési időt, és ábrázoljuk az x(t), x(t+t), x(t+2t) adathármasokat térbeli koordinátarendszerben. Megmutatható, hogy az így kapott ábra pontjai az "igazi" attraktor pontjaival kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők - tehát lehet, hogy az alak torzul, de a topológia korrekt. Háromnál több vagy kevesebb dimenzió esetén az eljárás módosítása értelemszerű

Feladat
Az előző feladat eredményeit felhasználva rekonstruáljuk a Rössler-attraktort egyetlen változó késleltetett értékeinek segítségével. Mi történik, ha változtatjuk a késleltetés értékét?

 

Vissza