Van der Pol-oszcillátor
Hopf-bifurkáció

 Egy a rendszert jellemző úgynevezett kontrolparaméter változtatásakor a rendszerünkben a fixpontok jellege megváltozhat. Előfordulhat, hogy egy stabil fixpont instabillá válik és helyette két új stabil fixpont jelenik meg. Ezt az effektust nevezzük vasvilla bifurkációnak. Erre láttunk példát az anharmonikus oszcillátor tanulmányozásakor.

Előfordulnak olyan fizikai rendszerek, amelyekben a kontrolparaméter változtatásakor bifurkáció történik stabil fixpontból határciklusba. Ezt nevezzük Hopf-bifurkációnak. A Hopf-bifurkációt mutató rendszerre az egyik legegyszerűbb példa a Van der Pol-oszcillátor, melyet a
 
egyenlet definiál. A (41) Van der Pol egyenlet ekvivalens a következő két elsőrendű egyenlettel:
 
Vizsgáljuk meg, hogy az oszcillátor nyugalmi állapota milyen     értékekre stabil. A (41) egyenlet kis kitérésekre érvényes linearizált alakja:

ekvivalens egy

 

közegellenállású csillapított harmonikus oszcillátor mozgásegyenletével. Tehát levonhatjuk azt a következtetést, hogy a nyugalmi állapot 

azaz 

 

esetén stabil,

 

esetén viszont instabil. A

 

eset a csillapítatlan oszcillátornak felel meg.

Ha 

a (41) egyenletnek létezik stabil határciklus megoldása, a határciklus alakja azonban lényegesen különbözik a

 

és 

esetekben. A (41) egyenlet kis 

-kre érvényes alakjából könnyen belátható, hogy ekkor a határciklus egy R = 2 sugarú kör az

 

síkon. A határciklushoz tartás meglehetősen lassú, 

-vel arányos.

A

 

esetben a határciklus alakja a (42) egyenletrendszerből határozható meg. (Erre a feladatok során látunk példát.)

 

 

 

Vissza