Határciklus

A disszipatív rendszer elegendően hosszú idő múlva biztosan valamelyik stabil egyensúlyi helyzetébe, a fázistér valamelyik vonzó fixpontjába kerül. Azonban elképzelhető az is, hogy aszimptotikusan egy stabil periodikus mozgás, úgynevezett határciklus alakul ki. Ehhez a disszipációt pótlandó külső gerjesztésre van szükség.

A legegyszerűbb ilyen viselkedést mutató rendszer egy olyan tömegpont, amelyet periodikus külső erővel gerjesztünk, s amelyre emellett a sebességével arányos nagyságú fékező erő hat. Az egydimenziós mozgás mozgásegyenlete:

melyet az 

és 

változók bevezetésével az

autonóm elsőrendű egyenletrendszerré alakítható. Az  egyenletrendszernek nincsenek fixpontjai, van azonban határciklusa. Az egzakt megoldás felírható

Mivel 

 hosszú idő után ez átmegy az

periodikus mozgásba.

Annak érdekében, hogy a határciklus ne csak az 

változóban, hanem a teljes

 

fázistéren periodikus legyen, szokásos eljárás, hogy az 

változót csak a

 

intervallumon azonosítjuk -vel, s az 

koordinátájú pontokat az

 

pontokkal azonosítjuk. Ez teljesen hasonló ahhoz, ahogyan az inga tanulmányozásánál a fázisteret nem síknak, hanem egy henger palástjának képzeltük el.

A határciklus fogalmilag nem különbözik lényegesen a fixponttól, alkalmas koordináta transzformációval (együttmozgó koordinátarendszer bevezetésével) egy határciklusba torkolló mozgás ugyanis mindig 'leállítható'. A határciklus stabilitása a fixpontokéhoz hasonlóan vizsgálható. Az  egyenlet linearitása miatt a határciklus akármekkora pozitív mellett stabil, negatív mellett pedig instabil.

 

 

Vissza