Fraktálok, multifraktálok és a bonyolultság tudománya

A természetben található tárgyak geometriai leírása olyan régi, mint maga a tudomány. Ezen leíráshoz hagyományosan az euklideszi vonalakat, téglalapokat, kockákat, gömböket, stb. használják. De a természetben nemcsak euklideszi idomok vannak. Több mint húsz évvel ezelôtt jelentette ki Mandelbrot, hogy "A felhôk nem gömbök, a hegyek nem kúpok, a partvonalak nem körívek, a fakéreg nem sima, és a villám sem terjed egyenes vonalban." A legtöbb természeti objektum olyan bonyolult alakú, hogy megérdemlik, hogy geometriailag kaotikusnak hívjuk ôket. Lehetetlennek tűnt a matematikai leírásuk, ezért a "matematika szörnyetegeinek" nevezték ôket.

1975-ben Mandelbrot ezeknek a szörnyetegeknek a leírására bevezette a fraktál fogalmát, amely a számszerű leíráson kívül az ezekben az objektumokban rejlô szabályosság felismerésében is segít bennünket. [1]. A fraktálok nemcsak színes, számítógéppel alkotott ábrák. Egy sziget partvonala, egy folyó hálózata, a káposzta vagy a brokkoli szerkezete, vagy az erek és az idegek hálózata az emberi retinában - mind-mind leírhatók fraktálként. Mégis, több mint húsz évvel a fogalom bevezetése után még mindig nincs általánosan elfogadott fraktál-definíció, bár mondhatjuk azt, hogy a fraktálok olyan alakzatok, amelyek valamiképpen hasonló részekbôl épülnek fel.

A fraktálkészítésnek az a legegyszerűbb módja, ha egy műveletet újra és újra elvégzünk. A klasszikus Cantor-halmaz - a fraktálok egy tankönyvi példája - is ilyen. Úgy készül, hogy egy szakaszt n egyenlô részre osztanak, majd ezen részek közül (n-m)-et eltávolítanak, és ezt az eljárást megismétlik a megmaradt m darabbal ad infinitum [1,2]. Azonban a természetben elôforduló fraktálok folyamatos kinetika vagy véletlen események hatására alakulnak ki. Ha felismertük ezt az egyszerű természeti törvényt, akkor megváltoztathatjuk a képzési módszerünket úgy, hogy például a vonalakat adott gyakorisággal véletlenszerűen választjuk ki és osztjuk fel. Tovább finomíthatjuk a modellt úgy, hogy meghatározzuk, mennyire véletlen a véletlen. Ha egy végtelen hosszúságú vonalból indulunk ki, akkor végtelen számú ponthoz jutunk, amelyek elhelyezkedését a kezdeti vonal és az intervallumok kiválasztásának véletlensége határozza meg. Ezen pontok tulajdonságai statisztikailag önhasonlóak és egy fraktáldimenzióval jellemezhetôek, amely dimenzió a rendezettséggel együtt növekszik és a tökéletesen rendezett alakzatnál éri el a maximumot.

Ezt az elgondolást mostanában kiterjesztették két dimenzióra, hogy jobban megértsék a természetben elôforduló, kiterjedéssel és alakkal is bíró fraktálokat. Osszunk fel egy négyzetet négy egyenlô részre és távolítsuk el véletlenszerűen az egyik darabkát. Folytassuk az eljárást a megmaradt részekkel ad infinitum. Ebben az esetben úgy tűnik, a jelenség nem írható le egyetlen egy fraktáldimenzióval - végtelen számúra lesz szükségünk [3]. Ez a jelenség - amit multifraktalitásnak neveznek - igen hasznossá vált sok tudományterületen. Fizikailag ez azt jelenti, hogy a kapott rendszer felosztható olyan alrendszerekre, amelyek mind fraktálok, saját fraktáldimenzióval. Ebben az eljárásban egy új jelenséggel találkozhatunk: az a tartó, amelyen az alrendszerek megoszlanak, önmaga is egy fraktál, amelynek egy, a végtelen sok lehetôség közül kiválasztott fraktáldimenziója van. Így egy hosszú idejű kísérlet nem ad jó átlagértéket, hanem nagyszámú, független kísérletre van szükség. Multifraktalitás általában az olyan rendszereknél lép fel, amelyek távol vannak az egyensúlytól és ezért nincs minimális energiájú konfigurációjuk, mint pl. a diffúzió-limitált aggregáció, vagy az elektrokémiai fémleválás.

A fraktálokkal kapcsolatos tudásunk nagyrészt számítógépes szimulációkból származik, de az elôbbiekben is bemutatott felosztásos fraktálkészítés egyszerű és analitikusan is nyomon követhetô. Az ilyen modellekkel leírhatjuk azokat az alakzatokat, amelyek folytonos méreteloszlású részecskekeverékek véges alapra való véletlenszerű lerakódásakor keletkeznek. Meghatározott méretű részecskék lerakódásakor a rendszer nyilvánvalóan eléri a zavarási határt, amikor az erôs nem-markovi és nem-ergodikus hatások miatt már nem helyezhetünk el több részecskét átfedés nélkül. Ha a méreteloszlás folytonos, akkor a rendszer nem éri el ezt a zavarási határt, hanem a rendszer ergodikus volta miatt skálainvariáns alakzatokat hoz létre, amelyek fraktálként írhatók le [4,5].

Megjósolható-e, hogy mikor kapunk olyan rendszert, amelyik véletlenszerű fraktál-tulajdonságokat mutat? Egyelôre erre a kérdésre nincs világos válasz. Azonban úgy tűnik, hogyha azonos kezdeti feltételek mellett nem tudunk mindig pontosan ugyanolyan rendszert létrehozni, de minden egyes másolatban van valami általános hasonlóság, akkor fraktál lesz a végeredmény. Nincs két egyforma hópehely, de jellegzetes alakjuk miatt egy gyermek is azonnal felismeri ôket. Végezetül megállapíthatjuk, hogy a komplex alakzatok létrehozása egyszerűbb, mint amilyennek elsô pillantásra tűnik.