Grafikus iterációk
Válasszuk az xn+1=Axn(1-xn) kvadratikus leképezést. A függvény képe parabola, átmegy a (0,0) és az (1,0) pontokon, maximuma x=0.5-nél található, értéke A/4. Ha A 4-nél nem nagyobb, a transzformáció a [0,1] intervallumot önmagára képezi le.

A grafikus iteráció menete 

Kijelöljük a kezdõértéket az x tengelyen, és függõleges vonalat húzunk a paraboláig. Innen vízszintesen haladunk az átlóig, majd ismét függõlegesen a görbéig. 

Az eljárás - amint az egyszerûen belátható - azért mûködik, mert az átló pontja mindkét tengelytõl egyenlõ távolságra vannak. 

A grafikus eljárás segítségével a szó szoros értelmében láthatjuk, hogyan alakulnak ki a stabil és instabil állapotok.

Az ábrákon látható paraméter-értékek mellett az iteráció stabil. Balra monoton növekvõ, középen oszcilláló konvergenciát látunk az átló és a parabola metszéspontjához. A jobb oldali ábra stabil ciklus kialakulását mutatja.

Instabil viselkedés az A=4 esetben. Az ábrák növekvõ számú iterációs lépést mutatnak.



Feladatok

1 Tanulmányozzuk az xn+1 = Axn(1-xn)2 alakú köbös leképezést az elõzõ és a jelen fejezetben kipróbált módszerekkel.
2 Láttuk a kvadratikus leképezés esetében, hogy bizonyos paraméter-értékeknél stabil ciklus alakul ki.Ezek közül a legegyszerûbb az, amikor két szám váltakozik: ezt periódus-2 viselkedésnek nevezzük. Ilyenkor az iteráció állandósult állapotában minden második érték megegyezik. Ábrázoljuk a két egymás utáni transzformációnak megfelelõ értékeket (azaz xn+2-t xn függvényében). Határozzuk meg és rajzoljuk fel az ismételt transzformációnak megfelelõ görbét, húzzuk be az elõzõ ábrákon szereplõ átlót, és határozzuk meg transzfomáció fixpontjait, ahol xn+2= xn. Diszkutáljuk a kapott eredményeket.