Fraktáldimenzió, dobozszámolás

Kísérletet sem teszünk a különféle fraktáldimenziók áttekintésére, sem a dimenzió mérésére szolgáló eljárások ismertetésére - ehelyett csak a kezdőlapon megadott irodalomjegyzékre utalunk. A fraktál fogalmát sem definiáljuk - mindössze annyit jegyezve meg, hogy olyan dolgot értünk alatta, amelynek részei különböző skálán vizsgálva egymáshoz többé-kevésbé hasonlítanak. Mentségünkre szolgáljon, hogy maga Mandelbrot is egyre "puhította" fraktáldefinícióját, amely végül a fentihez hasonló, kvalitatív megfogalmazáshoz vezetett.

Egyetlen módszert írunk le: ennek angolul box counting, magyarul dobozszámolás a neve. Az eljárás a következő:

A mérendő halmazt fedjük le a oldalhosszúságú dobozokkal. (Kezdjük - mondjuk nagy a értékkel: olyannal, aminek élhossza a halmaz méreteivel összemérhető.)

A "dobozok" legyenek elegendően sokdimenziósak ahhoz, hogy a mérendő halmaz beléjük férjen. Ha tudjuk a mérendő halmaz dimenziójának lehető legnagyobb értékét, használjuk az első ennél nem kisebb egész számot. Egy kacskaringós vonal esetén például - lehet akármilyen kacifántos, ha síkra van rajzolva - tudjuk, hogy dimenziója legfeljebb kettő lehet. A dobozok szerepét ilyenkor négyzetek is eljátszhatják, mint az alábbi feladatban. Ha nem tudjuk, hogy a mérendő halmaz hánydimenziós térbe fér bele - ez például a különös attraktoroknál gyakran előfordul - egyre növekvő dimenziószámmal próbálkozunk: az igazin túllépve a kapott eredmény a dobozok dimenziójának további növelésével nem változik. Ha az attraktor végtelen dimenziós, pechünk van, de ez ritka.

Számoljuk meg, hány olyan doboz van, amely a mérendő halmaznak legalább egy pontját tartalmazza: legyen ez N(a).

Ismételjük meg az eljárást egyre kisebb dobozokkal (pl. a/2, a/4, a/8, ... oldalhosszal), minél tágabb tartományban.

Ábrázoljuk lnN(a)-t ln(a) függvényében.

Ha a pontok tűrhetően illenek egy egyenesre, határozzuk meg a meredekséget - a dimenzió ebből egyszerűen kiszámítható.

(Gondoljuk meg, hogy vonal, síkidom, test esetében feleakkora oldalhosszú dobozból kétszer, négyszer, nyolcszor annyi kell a lefedéshez.)