Bizonyítások

Állítás : Ha C és D konjugáltak, akkor a belõlük képzett Zn és Wn sorozatokban a tagok is konjugáltak lesznek, azaz Zk és Wk egymás konjugáltjai minden k esetén.

Bizonyítás :
Az állítást teljes indukcióval igazoljuk.
Z0 = C, és W0 = D, azaz n = 0 esetén az állítás igaz.
Tegyük fel most, hogy k-ra igaz az állítás, tehát Zk konjugáltja Wk.
Ha Zk = az+bz*i alakú, akkor Wk = az-bz*i. Ha C = ac+bc*i alakban írható fel, akkor
Zk+1 = Zk2 + C = (az+bz*i)2 + ac + bc*i =
        = az2 - bz2 + 2*az*bz*i + ac + bc*i =
        = az2 - bz2 + ac + (2*az*bz + bc)*i
Hasonlóan Wk-ra és D-re :
Wk+1 = Wk2 + D = (az-bz*i)2 + ac - bc*i =
        = az2 - bz2 - 2*az*bz*i + ac - bc*i =
        = az2 - bz2 + ac - (2*az*bz + bc)*i
Errõl pedig látszik, hogy Zk+1 pont Wk+1 konjugáltja.

Következmény : Zk és Wk abszolútértéke minden k-ra ugyanannyi, mert az abszolútérték a2+b2 négyzetgyöke.


Állítás : Ha C abszolútértéke nem nagyobb, mint 1/4, akkor Zk abszolútértéke végig 1/2 alatt marad.

Bizonyítás :
Szintén teljes indukciót alkalmazunk.
k = 0 -ra a feltétel miatt teljesül, hiszen Z0 = C, aminek abszolútértéke kisebb, mint 1/2 (legfeljebb 1/4).
Ha pedig Zk abszolútértéke 1/2-nél kisebb, akkor Zk2 abszolútértéke 1/2*1/2 = 1/4-nél kisebb, így Zk+1 = Zk2 + C abszolútértéke a háromszögegyenlõtlenség miatt kisebb, mint 1/4 + 1/4 = 1/2.
Ezzel az állítást beláttuk.

Következmény : A 0 középpontú, 1/4 sugarú kör pontjai a Mandelbrot halmaz elemei, hiszen nem csak a 2-t, mint korlátot nem éri el a sorozat tagjainak abszolútértéke, de még az 1/2-et sem.


Állítás : Ha egy C számra a Zn sorozat valamelyik tagjának abszolútértéke nagyobb, mint kettõ, akkor lesz olyan tagja is a sorozatnak, amelyik abszolútértéke nagyobb, mint K, ahol K egy tetszõleges rögzített szám. Sõt ettõl a tagtól kezdve minden tag abszolútértéke nagyobb lesz, mint K, azaz ekkor a sorozat tagjainak abszolútértékének létezik határértéke, és az végtelen.

Bizonyítás :
A bizonyításban használom a következõ jelölést :
|Z|:= a Z szám abszolútértéke
A bizonyítást két esetre bontjuk, attól függõen, hogy C abszolútértéke (azaz |C|) kettõnél nagyobb-e, vagy sem.
1. eset : |C| > 2
Ekkor tehát, ha az állítás igaz, a Zn sorozat abszolútértéke a végtelenbe tart.
Legyen d:=|C|-2, így d pozitív, és |Z0| = |C| = 2+d.

Lemma (segédtétel) : Ekkor |Zi| >= 2+3i*d

A lemma bizonyítása :
Teljes indukciót alkalmazunk.
Mivel |Z0| = 2+d, ezért n=0-ra a lemma igaz.
Feltesszük, hogy |Zi|>=2+3i*d.
Ekkor |Zi+1| = |Zi2 + C|. A háromszögegyenlõtlenség miatt |Zi2 + C - C| <= |Zi2 + C| + |C|, tehát átrendezve :
|Zi+1| = |Zi2 + C| >= |Zi2| - |C| = |Zi|2 - |C| >= (2+3i*d)2 - 2 - d = 4 + 4*3i*d + 32i*d2 - 2 - d > 2 + 4*3i*d - d >= 2 + 4*3i*d - 3i*d = 2 + 3*3i*d = 2 + 3i+1*d
Ezzel a lemmát beláttuk, hisz a teljes indukció mûködik.

Ha K nem nagyobb, mint 2, akkor nyilván van a sorozatnak olyan eleme, amelynek abszolútértéke nagyobb, mint K, például |Z0| = |C| > 2 >= K.
Ha pedig K 2-nél nagyobb, akkor |Zi| > K teljesül egy i-ra :
|Zi| >= 2+3i*d > K
3i > (K-2)/d
i > log3((K-2)/d)
Ilyen i pedig létezik, hiszen K>2, d pozitív, és i tetszõlegesen nagy is lehet, azaz egy idõ után túllépi a jobboldalon álló kifejezést.
És a fentiekbõl látszik, hogy nemcsak a fenti i jó, hanem minden ennél nagyobb is, tehát nem megy vissza a K korlát alá a sorozat abszolútértéke.
2. eset : |C| <= 2
Itt most nem tudjuk biztosan, hogy a végtelenbe tart a sorozat abszolútértéke, de ha egy i-re |Zi| > 2, akkor onnan már nincs "visszaút", az abszolútértékek ekkor már a végtelenbe tartanak. Ezt szintén teljes indukcióval bizonyítjuk, azzal a különbséggel, hogy nem 0-tól indulunk, hanem attól az i-tõl, amelyre elõször |Zi| > 2. Jelöljük ezt i0-lal. A bizonyítás hasonlóan megy, mint a lemmában, csak most |C|-t lehet felülrõl becsülni 2-vel, így nincs szükség a -d kiejtésére, vagyis a becslés 4i*d-vel is megy, ha d-vel jelöljük azt a pozitív számot, amennyivel az i0-dik tag abszolútértéke nagyobb kettõnél. Tehát ekkor az a i, amire biztosan teljesül |Zi| > K :
i > i0 + log4((K-2)/d).
És itt is igaz, hogy ha már a kettõt túllépte a sorozat egy tagjának abszolútértéke, akkor az abszolútérték egyre nagyobb, minden, az elõzõ feltételnek eleget tevõ i-nél nagyobb i-k is jók lesznek.

Vissza