Fraktálok

A fraktálok egészen sajátos képződmények: egyrészt nagyon összevisszák, másfelől viszont szigorú matematikai törvényszerűségeket követnek. E tulajdonságuk miatt új területet nyitottak a tudomány világában, másfelől pedig - a számítógépek fejlődésének köszönhetően - ezrek fantáziáját mozgatták meg. E lapon a következőkre fektetem a hangsúlyt:

ˇ        a fraktálok sokféleségét mutatom be (hogy aki nem ismerte őket, kedvet kapjon hozzájuk)

ˇ        néhány fraktál matematikájába engedek betekintést

Mi az a fraktál?

A fraktálok olyan alakzatok, amelyek valamiképpen önhasonlóak, azaz valamely kisebb részük kinagyítva (és esetleg elforgatva) megegyezik az eredeti alakzattal. Egy kézenfekvő példa ide a Sierpinski-háromszög (Ábra 1). Az ábra három kisebb háromszögre bontható (középen meg üres), amelyek hasonlóak az egészhez.

 



Ábra 1. Sierpinski-háromszög

Érdemes problémákat vetnek fel ezek a fajta fraktálok. Mivel a fenti kisháromszögek szintén apróbb háromszögekből állnak, az alakzat területe 0, kerülete viszont végtelen hosszú. Ennélfogva nem nevezhetjük őket sem egydimenziósnak, sem kétdimenziósnak: ehelyett kitaláltak egy számítási módszert, amellyel a dimenziójuk meghatározható (úgy hívják: box-dimenzió, és értéke általában egy törtszám 1 és 2 között). Ehhez hasonlóan a térbeli fraktálok dimenziója 2 és 3 között is lehet. Matematikusok kedvéért elárulom a számítás módját (bár a terjedelem korlátossága miatt nem lesz precíz): a box-dimenzió úgy számolható, hogy ha az eredeti alakzatot N egyenlő részre osztjuk, és abból M részbe jut az alakzat transzformációiból, akkor

, már feltéve hogy létezik.

A fenti ábrán ezt egyszerű kiszámolni, mivel N=4 és M=3, tehát s=log3/log2, ami 1,585. Némelyik fraktál esetében az önhasonlóság nem egyértelmű. Nagyon jó példa erre a Mandelbrot-halmaz (Ábra 2), amelynek kisebb részhalmazai csak hasonlítanak az egészhez, precíz matematikai eszközökkel talán nem is lehet kimutatni ezt a hasonlóságot.

 



Ábra 2. Mandelbrot-halmaz

A természetben is vannak fraktálok!

Noha nem ilyen szabályosak, de szinte mindenütt fraktálokba botlunk. Jellemző példa a fa, illetve annak ága, levele. Az alábbi fraktál is erősen egy faágra emlékeztet (Ábra 3).



Ábra 3. Faághoz hasonló fraktál

Hogyan lehet ilyet csinálni?

A fenti két példából indulok ki, ezek képviselik a fraktálok előállításának legismertebb, legegyszerűbb két módszerét, ráadásul éppen elég lehetőséget rejtenek magukban ahhoz, hogy jól elszórakozzunk velük. Mindkét módszert számítógéppel javaslom megpróbálni, tekintve hogy mindkét esetben sok iterációt (egy művelet ismételgetése) szükséges végrehajtani, ráadásul minél pontosabb, annál szebb.

1. Önhasonlóság közvetlen felhasználásával

Ez a módszer viszonylag egyszerű, némelyiket a LOGO nyelv segítségével is megvalósíthatjuk. A képlet egyszerű: vegyünk egy alakzatot, és néhány hasonlósági transzformációt (azaz kicsinyítés+elforgatás+eltolás), mondjuk N darabot. Az eredeti alakzatra alkalmazzuk az N transzformációt, majd a kapott N új alakzatra egyenként mindet. Ez elég hamar kezelhetetlenül sok alakzatot fog eredményezni, tehát vagy nagyon kevés iterációt tudunk kiszámítani (megrajzolni), vagy pedig nagyon lassú lesz a programunk futása. Csinálhatjuk úgy is, hogy a kapott N alakzatot kirajzoltatjuk a képernyőre, és ezután a képpontokat transzformáljuk. Az eredmény valami ilyesmi lesz (Ábra 4). Meglepő módon a sok-sok iterálás után a végső alakzat (azt nevezzük végsőnek, amelyik már a transzformációk végrehajtása után ugyanaz marad) nem függ a kiindulási alakzattól, csak a transzformációtól. Az ábrán a bekeretezett alakzat a végső.



Ábra 4. Iterálás

2. Egy komplex függvény felhasználásával

Erre a Mandelbrot-halmaz a tipikus példa. Ez egy nagyon egyszerű függvényt használ fel: f(x) = x2 + c

Legyen tehát C a sík adott pontjának megfelelő komplex szám (azaz ix+y, ahol i a -1 négyzetgyöke, x és y pedig koordináták), és x1 egy paraméter, mely az egész ábra kinézetére hatással van, általában 0-t használnak. A sorozat további tagjai xn+1=f(xn). Ezek után a sík pontjához úgy rendelünk színt, hogy megnézzük, hogy a sorozat tagjai mikor érik el (abszolút értékben) a 2-t (vagyis hány iteráció kell hozzá), és mindegyik számhoz egy szín tartozik. Tehát azok a tartományok lesznek egyszínűek, amelyeknek ugyanannyi iteráció kell, hogy a kettőt elérjék. A halmaz közepén levő pontok esetén soha nem érjük el a kettőt, tehát azok feketén maradnak. Azt, hogy soha, számítógépes programmal nem lehet bizonyítani, mert végtelen iterációt nem hajthatunk végre. Így ezek feketesége csak azt jelzi, hogy a megadott számú iteráció alatt nem értük el a kettőt.

Ha x1 a koordinátákból képzett komplex szám, és a C egy szabadon választott konstans, akkor Julia-halmazt kapunk (Ábra 5). A Mandelbrot-halmaz érdekessége, hogy ezen Julia-halmaz kinézete illetve a C Mandelbrot-halmazban elfoglalt helyzete között igen erős összefüggéseket lehet fölfedezni.



Ábra 5. Julia-halmaz

Mindez csak egy kis ízelítő a fraktálok világából. Talán egy kicsit öncélúnak tűnik a velük való foglalkozás, de alkalmasak arra, hogy rácsodálkozzunk, már csupán a matematika törvényeiben mennyi szépség rejlik, vagy megszerettessük segítségükkel a matematikát az emberekkel, vagy az oktatásban is remekül használhatjuk őket. És a történet itt nem ért véget...